डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक फ़ंक्शन n इटरेशन का एक लूप चलाता है और फिर, अलग से, n इटरेशन का एक और लूप। इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

P और NP के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. AP की हर समस्या NP में भी है
  2. BNP का अर्थ है "not polynomial"
  3. Cयह सिद्ध हो चुका है कि P ≠ NP
  4. DNP समस्याओं को जल्दी सत्यापित नहीं किया जा सकता
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

"{[()]}" में कोष्ठक संतुलित हैं या नहीं, यह जाँचने के लिए कौन-सी डेटा संरचना उपयोग होती है?

  1. Aस्टैक
  2. Bक्यू
  3. Cबाइनरी सर्च ट्री
  4. Dहैश टेबल
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ऐरे के हर तत्व के लिए आप उसके दाईं ओर का अगला बड़ा तत्व कुल O(n) समय में चाहते हैं। कौन-सी संरचना मदद करती है?

  1. Aसभी तत्वों की हैश टेबल
  2. Bहर तत्व के लिए फिर से बनाया गया बाइनरी सर्च ट्री
  3. Cतत्वों के हर युग्म को रखने वाली क्यू
  4. Dएक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 43 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1622014861912718ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 10
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n + n = 2n, और स्थिर गुणक हटा दिए जाते हैं, इसलिए फ़ंक्शन O(n) है।

उत्तर

B · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · P की हर समस्या NP में भी है

यह उत्तर क्यों है

P ⊆ NP: यदि आप किसी समस्या को जल्दी हल कर सकते हैं, तो आप समाधान को भी जल्दी सत्यापित कर सकते हैं। P = NP है या नहीं, यह अभी भी खुला प्रश्न है।

उत्तर

A · P की हर समस्या NP में भी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

हर खुलने वाले कोष्ठक को push करें और बंद होने वाला कोष्ठक आने पर pop करें; वह pop किए गए कोष्ठक से मेल खाना चाहिए और अंत में स्टैक ख़ाली होना चाहिए।

उत्तर

A · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · एक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है

यह उत्तर क्यों है

बाएँ से दाएँ स्कैन करते हुए, वर्तमान से छोटे हर स्टैक्ड तत्व को pop करें (वर्तमान तत्व उनका उत्तर है), फिर उसे push करें; हर तत्व अधिकतम दो बार खिसकता है।

उत्तर

D · एक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

उत्तर

L = 8

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 53

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BC (2): लें
DF (6): लें
GC (7): लें
DE (8): लें
GB (12): छोड़ें, चक्र बनता है
CE (14): लें
AC (16): लें

कुल भार

W = 2 + 6 + 7 + 8 + 14 + 16 = 53

उत्तर

W = 53

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