डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

किसी समस्या में इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure) होने का क्या अर्थ है?

  1. Aसमस्या का ठीक एक इष्टतम समाधान है, जो हर उप-समस्या में साझा होता है
  2. Bएक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
  3. Cसमस्या को स्थिर समय में हल किया जा सकता है
  4. Dहर उप-समस्या का आकार समान है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

  1. Aफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
  2. Bदोनों रूप
  3. C0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
  4. Dकोई भी रूप नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

व्यवहार में ऐरे का ट्रैवर्सल प्रायः समान लंबाई की लिंक्ड लिस्ट से बहुत तेज़ क्यों होता है?

  1. Aऐरे मानों की तुलना के लिए कम निर्देश उपयोग करते हैं
  2. Bलिंक्ड लिस्ट हमेशा तत्व डिस्क पर संग्रहीत करती हैं
  3. Cऐरे तत्व लगातार होते हैं, इसलिए वे CPU कैश का अच्छा उपयोग करते हैं
  4. Dऐरे ट्रैवर्सल कुल मिलाकर O(1) है जबकि लिंक्ड लिस्ट ट्रैवर्सल O(n)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एडजेसेंसी मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत V शीर्षों वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक C से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · एक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम और डायनेमिक प्रोग्रामिंग दोनों के सही उत्तर देने के लिए इष्टतम उप-संरचना आवश्यक है।

उत्तर

B · एक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

जब वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं, तो पहले सर्वोत्तम अनुपात इष्टतम है; 0/1 नैपसैक में ऊँचे अनुपात वाली वस्तु बेहतर संयोजन को रोक सकती है, इसलिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग चाहिए।

उत्तर

A · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · ऐरे तत्व लगातार होते हैं, इसलिए वे CPU कैश का अच्छा उपयोग करते हैं

यह उत्तर क्यों है

लगातार मेमोरी संदर्भ की अच्छी स्थानिकता (locality) देती है, जबकि लिंक्ड नोड बिखरे हो सकते हैं और कई कैश मिस पैदा करते हैं।

उत्तर

C · ऐरे तत्व लगातार होते हैं, इसलिए वे CPU कैश का अच्छा उपयोग करते हैं
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(V²)

यह उत्तर क्यों है

V शीर्षों में से हर एक V प्रविष्टियों की पंक्ति स्कैन करता है, जिससे O(V²) मिलता है; एडजेसेंसी लिस्ट के साथ BFS, O(V + E) है।

उत्तर

B · O(V²)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

विषम शीर्ष

A, C, E, F → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)CC = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

उत्तर

N = 2

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