डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

  1. Aऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
  2. Bपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत
  3. Cसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
  4. Dयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

अनसॉर्टेड ऐरे का k-वाँ सबसे छोटा तत्व चुनने के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aसिलेक्शन केवल O(n²) में संभव है
  2. Bक्विकसिलेक्ट वर्स्ट केस में O(log n) में चलता है क्योंकि वह पिवट के केवल एक ओर रिकर्स करता है
  3. Cसिलेक्शन को हमेशा Ω(n log n) चाहिए क्योंकि उसे सॉर्टिंग चाहिए
  4. Dक्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

इंडेक्स 0 से शुरू होने वाले ऐरे में संग्रहीत बाइनरी हीप में इंडेक्स i वाले नोड का पैरेंट कहाँ है?

  1. Aइंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
  2. Bइंडेक्स 2i + 1 पर
  3. Cइंडेक्स i − 1 पर
  4. Dइंडेक्स ⌊i / 2⌋ + 1 पर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ब्लूम फ़िल्टर "क्या यह तत्व सेट में है?" का उत्तर किस प्रकार देता है?

  1. Aसंभावित फ़ॉल्स नेगेटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स पॉज़िटिव नहीं
  2. Bकेवल संख्याओं के लिए उत्तर
  3. Cहमेशा सटीक उत्तर
  4. Dसंभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 14 शीर्ष और 16 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 14|E| = 16
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
15814952511ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत

यह उत्तर क्यों है

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण दुर्लभ महँगे ऑपरेशनों की लागत को कई सस्ते ऑपरेशनों पर फैलाता है, जिससे किसी भी अनुक्रम के लिए गारंटीशुदा औसत मिलता है।

उत्तर

A · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · क्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक पिवटों के साथ क्विकसिलेक्ट का अपेक्षित कार्य n + n/2 + n/4 + ... = O(n) है; पिवट को मीडियन ऑफ़ मीडियन्स के रूप में चुनने से वर्स्ट केस रैखिक हो जाता है।

उत्तर

D · क्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर

यह उत्तर क्यों है

i के चाइल्ड 2i + 1 और 2i + 2 पर हैं, इसलिए i का पैरेंट ⌊(i − 1) / 2⌋ है; 1-आधारित इंडेक्सिंग में यह ⌊i / 2⌋ है।

उत्तर

A · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · संभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी तत्व का कोई भी बिट 0 है, तो वह निश्चित रूप से अनुपस्थित है; यदि सभी 1 हैं, तो वह संभवतः मौजूद है। ब्लूम फ़िल्टर बहुत कम मेमोरी के बदले सटीकता का त्याग करते हैं।

उत्तर

D · संभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

14 − 1 = 13

हटाई जाने वाली कोरें

k = 16 − 13 = 3

उत्तर

k = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 22

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 15, C: 8
C (8): E: 17
B (15): D: 29
E (17): D: 22, F: 22
D (22)
F (22)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 22

उत्तर

d(F) = 22

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