डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

प्रिम का एल्गोरिदम मिनिमम स्पैनिंग ट्री कैसे बनाता है?

  1. Aयह सभी किनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करता है और हर किनारे को तब तक जोड़ता है जब तक वह फ़ॉरेस्ट में चक्र (cycle) न बनाए
  2. Bयह ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च चलाकर BFS ट्री रखता है
  3. Cयह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
  4. Dयह सबसे महँगा किनारा तब तक हटाता है जब तक कोई चक्र न बचे
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

जब कुछ किनारा भार ऋणात्मक हों, तो डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम ग़लत परिणाम क्यों दे सकता है?

  1. Aयह हर ऋणात्मक किनारे पर अनंत लूप में चला जाता है
  2. Bप्रायोरिटी क्यू में ऋणात्मक संख्याएँ संग्रहीत नहीं की जा सकतीं
  3. Cशीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है
  4. Dयह केवल अप्रत्यक्ष (undirected) ग्राफ़ पर काम करता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ऐरे में संग्रहीत बाइनरी min-heap (इंडेक्स 0 से शुरू) में इंडेक्स i वाले नोड के चाइल्ड कहाँ होते हैं?

  1. A2i और 2i + 1
  2. Bi/2 और i/2 + 1
  3. C2i + 1 और 2i + 2
  4. Di + 1 और i + 2
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में डिलीशन अक्सर "टॉम्बस्टोन" चिह्न से क्यों किया जाता है?

  1. Aसुरक्षा के लिए हटाई गई कुंजियाँ हमेशा रखनी पड़ती हैं, इसलिए स्लॉट दोबारा उपयोग नहीं हो सकते
  2. Bइससे टेबल क्रमबद्ध हो जाती है
  3. Cटॉम्बस्टोन हैशिंग को तेज़ करते हैं
  4. Dस्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 2 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
51167613831ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · यह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है

यह उत्तर क्यों है

क्रॉसिंग किनारों की प्रायोरिटी क्यू के साथ प्रिम का एल्गोरिदम बाइनरी हीप से O(E log V) में चलता है।

उत्तर

C · यह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · शीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी चरण अऋणात्मक भारों पर निर्भर है ताकि निकाली गई दूरियाँ अंतिम हों; भार ऋणात्मक हो सकते हों तो बेलमैन–फ़ोर्ड का उपयोग होता है।

उत्तर

C · शीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 2i + 1 और 2i + 2

यह उत्तर क्यों है

0-आधारित ऐरे में बायाँ चाइल्ड 2i + 1 पर, दायाँ चाइल्ड 2i + 2 पर और पैरेंट ⌊(i − 1)/2⌋ पर होता है।

उत्तर

C · 2i + 1 और 2i + 2
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है

यह उत्तर क्यों है

यदि हटाया गया स्लॉट खाली हो जाए, तो बाद की खोजें जल्दी रुक सकती हैं और प्रोब श्रृंखला में आगे रखी गई कुंजियाँ छूट सकती हैं।

उत्तर

D · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 16

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

उत्तर

L = 16

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): C: 5
2. C (5): E: 11, G: 13
3. E (11): D: 18, F: 17, G: 12
4. G (12): B: 25, D: 15
5. D (15)
6. F (17)
7. B (25)

चक्र 3

E

उत्तर

E

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