डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

  1. Aओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
  2. Bकेवल एक लूप
  3. Cकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके
  4. Dकेवल यादृच्छिक इनपुट
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

  1. Aकोई भी रूप नहीं
  2. Bदोनों रूप
  3. Cफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
  4. D0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में अधिकतम संभव लोड फ़ैक्टर क्या है?

  1. A1
  2. Bकोई अधिकतम नहीं है
  3. C2
  4. D0.5
4.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी हीप में decrease-key की समय जटिलता (तत्व की स्थिति ज्ञात होने पर) क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 18 शीर्ष और 26 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 18|E| = 26
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1131514156118ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E
d(E) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

A · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

जब वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं, तो पहले सर्वोत्तम अनुपात इष्टतम है; 0/1 नैपसैक में ऊँचे अनुपात वाली वस्तु बेहतर संयोजन को रोक सकती है, इसलिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग चाहिए।

उत्तर

C · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 1

यह उत्तर क्यों है

ओपन एड्रेसिंग में सभी कुंजियाँ स्वयं टेबल में संग्रहीत होती हैं, इसलिए n, m से अधिक नहीं हो सकता; सेपरेट चेनिंग में लोड फ़ैक्टर 1 से अधिक हो सकता है।

उत्तर

A · 1
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

कुंजी घटाने के बाद तत्व अधिकतम हीप की ऊँचाई तक ऊपर खिसकता है (sift up)। फ़िबोनाची हीप O(1) परिशोधित decrease-key प्राप्त करते हैं।

उत्तर

A · O(log n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 9

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

18 − 1 = 17

हटाई जाने वाली कोरें

k = 26 − 17 = 9

उत्तर

k = 9
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 19

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 11, C: 3
C (3)
B (11): D: 25, E: 19
E (19): F: 30
D (25)
F (30)

सबसे छोटा पथ

A → B → E
d(E) = 19

उत्तर

d(E) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms