डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

  1. Aओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
  2. Bकेवल एक लूप
  3. Cकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके
  4. Dकेवल यादृच्छिक इनपुट
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हैश टेबल में औसत लुकअप O(1) लेकिन वर्स्ट केस O(n) क्यों होता है?

  1. Aकुंजियों को पहले सॉर्ट करना पड़ता है
  2. Bहैश फ़ंक्शन धीमे होते हैं
  3. Cकई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं
  4. Dऐरे में एक्सेस O(n) होता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक क्यू दो स्टैक से बनाई गई है: "in" स्टैक पर push करें, और "out" स्टैक से pop करें, ख़ाली होने पर उसे "in" से फिर भरें। प्रति ऑपरेशन एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रमबद्ध लिंक्ड लिस्ट की तुलना में स्किप लिस्ट का मुख्य लाभ क्या है?

  1. Aयह कुंजियों को बिना क्रम के संग्रहीत करती है
  2. Bआगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
  3. Cगारंटीकृत O(1) खोज, क्योंकि हर नोड बाकी हर नोड का पॉइंटर रखता है
  4. Dयह कोई अतिरिक्त मेमोरी नहीं लेती
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 10
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
814581296ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

A · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · कई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

अच्छे हैश फ़ंक्शन और लोड फ़ैक्टर के साथ बकेट औसतन छोटे रहते हैं; प्रतिकूल या खराब हैशिंग सभी कुंजियों को एक बकेट में डाल सकती है।

उत्तर

C · कई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(1)

यह उत्तर क्यों है

हर तत्व कुल मिलाकर अधिकतम दो बार push और pop होता है, इसलिए भले ही एक बार फिर से भरने में O(n) लगे, अनुक्रम पर औसत O(1) है।

उत्तर

B · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक स्तर खोज को कई नोड्स छोड़ने देते हैं, जिससे खोज, इंसर्ट और डिलीट अपेक्षित O(log n) होते हैं।

उत्तर

B · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

विषम शीर्ष

C, E, F, G → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 23

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 8, C: 14
B (8): C: 13, D: 16, E: 14
C (13)
E (14): F: 23
D (16)
F (23)

सबसे छोटा पथ

A → B → E → F
d(F) = 23

उत्तर

d(F) = 23

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