डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सरल रिकर्सिव फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन fact(n) = n × fact(n − 1) कितना स्टैक स्पेस उपयोग करता है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

डायनेमिक प्रोग्रामिंग से हल की गई 0/1 नैपसैक (knapsack) समस्या में O(nW) समय लगता है। इसे स्यूडो-पॉलिनोमियल (pseudo-polynomial) क्यों कहा जाता है?

  1. Aक्योंकि यह केवल W = 0 के लिए काम करता है
  2. BW एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
  3. Cक्योंकि n हमेशा छोटा होता है
  4. Dक्योंकि एल्गोरिदम यादृच्छिक (randomised) है और उसका रनिंग टाइम हर इनपुट के साथ बदलता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी मिन-हीप में extract-min कैसे काम करता है?

  1. Aरूट हटाकर सभी तत्वों को एक स्थान बाएँ खिसकाएँ
  2. Bऐरे का अंतिम तत्व हटाएँ
  3. Cनए न्यूनतम के लिए सभी लीफ़ खोजें
  4. Dअंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सिंपल यूनिफ़ॉर्म हैशिंग के अंतर्गत n कुंजियों और m बकेटों वाली चेनिंग हैश टेबल में खोज का अपेक्षित समय क्या है?

  1. AO(1 + α), जहाँ α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K4 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K4
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
59131013157111314ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

कोई भी कॉल लौटने से पहले रिकर्शन n कॉल गहरा होता है, और हर कॉल को एक स्टैक फ़्रेम चाहिए, इसलिए यह O(n) स्पेस लेता है।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है

यह उत्तर क्यों है

रनिंग टाइम W के मान में बहुपद है लेकिन उसकी लंबाई (log W बिट्स) में घातांकी है; 0/1 नैपसैक NP-complete है।

उत्तर

B · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · अंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें

यह उत्तर क्यों है

अंतिम तत्व रूट का रिक्त स्थान भरता है और हीप गुण पूरा होने तक अपने छोटे चाइल्ड से स्वैप होता है, जिसमें O(log n) लगता है।

उत्तर

D · अंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(1 + α), जहाँ α = n / m

यह उत्तर क्यों है

हैश की गणना में O(1) लगता है और अपेक्षित शृंखला लंबाई α है, इसलिए आकार बदलकर α को सीमित रखने से O(1) अपेक्षित समय मिलता है।

उत्तर

A · O(1 + α), जहाँ α = n / m
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

उत्तर

H = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: G

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): C: 5
2. C (5): B: 14, E: 15, G: 18
3. B (14): D: 27
4. E (15): F: 22
5. G (18): D: 19
6. D (19)
7. F (22)

चक्र 5

G

उत्तर

G

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