डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक फ़ंक्शन n इटरेशन का एक लूप चलाता है और फिर, अलग से, n इटरेशन का एक और लूप। इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यदि कोई किसी एक NP-complete समस्या के लिए बहुपदी-समय एल्गोरिदम खोज ले, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

  1. Aहॉल्टिंग समस्या निर्णेय हो जाएगी
  2. Bसभी घातांकी-समय एल्गोरिदम तुरंत रैखिक समय में चलने लगेंगे
  3. Cकेवल वही एक समस्या P में चली जाएगी
  4. DNP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक सड़क नेटवर्क में 100,000 जंक्शन हैं, हर एक लगभग 4 अन्य से जुड़ा है। कौन-सा निरूपण सबसे उपयुक्त है?

  1. Aशीर्षों का एक सॉर्टेड ऐरे
  2. Bकिनारों का बाइनरी हीप
  3. Cएडजेसेंसी लिस्ट
  4. Dएडजेसेंसी मैट्रिक्स
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक AVL नोड असंतुलित है क्योंकि उसके बाएँ चाइल्ड का दायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो गया (left-right स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aनोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  2. Bबाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  3. Cबाएँ चाइल्ड पर दायाँ रोटेशन, फिर नोड पर बायाँ रोटेशन
  4. Dनोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 20 शीर्ष और 20 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 20|E| = 20
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1366141471314511ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n + n = 2n, और स्थिर गुणक हटा दिए जाते हैं, इसलिए फ़ंक्शन O(n) है।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP

यह उत्तर क्यों है

चूँकि पूरा NP किसी भी NP-complete समस्या में बहुपदी समय में रिड्यूस होता है, एक के लिए तेज़ एल्गोरिदम सबके लिए तेज़ एल्गोरिदम देता है।

उत्तर

D · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · एडजेसेंसी लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

मैट्रिक्स को 1010 सेल चाहिए होंगे, लगभग सभी ख़ाली; एडजेसेंसी लिस्ट केवल लगभग 400,000 किनारा प्रविष्टियाँ संग्रहीत करती है।

उत्तर

C · एडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

पहला रोटेशन left-right स्थिति को left-left स्थिति में बदलता है, जिसे फिर असंतुलित नोड पर दायाँ रोटेशन ठीक करता है।

उत्तर

B · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

20 − 1 = 19

हटाई जाने वाली कोरें

k = 20 − 19 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: B

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 13, C: 6
2. C (6): B: 12, E: 20, G: 17
3. B (12): D: 26
4. G (17)
5. E (20): F: 34
6. D (26)
7. F (34)

चक्र 3

B

उत्तर

B

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