डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

Big O में, जैसे O(log n) में, लघुगणक का आधार सामान्यतः क्यों छोड़ दिया जाता है?

  1. Aलघुगणक हमेशा पूर्णांकों में पूर्णांकित किए जाते हैं
  2. Bकंप्यूटर विज्ञान में सभी लघुगणकों का आधार 10 होता है, इसलिए वह निहित है
  3. Cभिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
  4. Dआधार केवल छोटे n के लिए मायने रखता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कुक–लेविन प्रमेय ने क्या स्थापित किया?

  1. Aहर NP समस्या घातांकी समय में हल हो सकती है
  2. Bहॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है
  3. Cबूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
  4. DP, NP के बराबर नहीं है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

यदि कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में डाली जाएँ, तो n नोड वाले बाइनरी सर्च ट्री की सबसे खराब स्थिति में ऊँचाई क्या होगी?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. Dn (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री के नियम n कुंजियों वाले ट्री की ऊँचाई के बारे में क्या गारंटी देते हैं?

  1. Aऊँचाई अधिकतम n / 2 है
  2. Bऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
  3. Cऊँचाई अधिकतम log2 n + 1 है
  4. Dऊँचाई ठीक log2 n है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 4 वाले 3 शीर्ष, घात 5 वाले 2 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
871510146172016ABCDEFG

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 3
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BD
  4. 4कोर CE
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर EF
  7. 7कोर GC
  8. 8कोर GD
  9. 9कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं

यह उत्तर क्यों है

आधार बदलने से लघुगणक एक स्थिरांक से गुणा हो जाता है, और Big O स्थिर गुणकों को अनदेखा करता है।

उत्तर

C · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है

यह उत्तर क्यों है

कुक और लेविन ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि NP की हर समस्या बहुपदी समय में SAT में रिड्यूस होती है, इसलिए SAT पहली ज्ञात NP-complete समस्या थी।

उत्तर

C · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)

यह उत्तर क्यों है

क्रमबद्ध इंसर्शन से n ऊँचाई वाला विकृत (degenerate) ट्री बनता है, जिससे खोज O(n) हो जाती है। संतुलित ट्री इसे रोकते हैं।

उत्तर

D · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है

यह उत्तर क्यों है

हर पथ में समान संख्या में काले नोड होते हैं और लाल नोड आसन्न नहीं हो सकते, इसलिए सबसे लंबा पथ सबसे छोटे का अधिकतम दोगुना है, जिससे ऊँचाई O(log n) होती है।

उत्तर

B · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 17

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 39 = 2(L + 12) − 2
L = 17

उत्तर

L = 17

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर AB

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. EF (6)
2. AC (7)
3. AB (8)
4. CE (10)
5. DE (14)
6. GE (16)

कोर संख्या 3

AB

उत्तर

कोर AB

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