डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक फ़ंक्शन n इटरेशन का एक लूप चलाता है और फिर, अलग से, n इटरेशन का एक और लूप। इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

केवल अंतिम दो मान रखने वाले लूप से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की समय और स्पेस लागत क्या है?

  1. AO(2ⁿ) समय और O(1) स्पेस
  2. BO(n) समय और O(n) स्पेस
  3. CO(n) समय और O(1) स्पेस
  4. DO(log n) समय और O(n) स्पेस
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ट्राई (प्रीफ़िक्स ट्री) विशेष रूप से किसके लिए कुशल है?

  1. Aसबसे छोटे पथ खोजने के लिए
  2. Bमैट्रिक्स संग्रहीत करने के लिए
  3. Cसंख्याओं को क्रमबद्ध करने के लिए
  4. Dऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट को इन-प्लेस उलटने की समय और अतिरिक्त स्पेस लागत क्या है?

  1. AO(1) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
  2. BO(n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
  3. CO(n log n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
  4. DO(n) समय और O(n) अतिरिक्त स्पेस
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
5381017152124ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 9
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n + n = 2n, और स्थिर गुणक हटा दिए जाते हैं, इसलिए फ़ंक्शन O(n) है।

उत्तर

B · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n) समय और O(1) स्पेस

यह उत्तर क्यों है

हर चरण को केवल पिछले दो मान चाहिए, इसलिए बॉटम-अप विधि की तालिका को दो वेरिएबल से बदला जा सकता है।

उत्तर

C · O(n) समय और O(1) स्पेस
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए

यह उत्तर क्यों है

ट्राई स्ट्रिंग्स को पथों के साथ अक्षरों के रूप में संग्रहीत करता है, इसलिए लुकअप और प्रीफ़िक्स क्वेरी में कुंजी की लंबाई के अनुपात में समय लगता है।

उत्तर

D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस

यह उत्तर क्यों है

तीन पॉइंटर (previous, current, next) रखने से आप नए नोड आवंटित किए बिना एक पास में हर लिंक उलट सकते हैं।

उत्तर

B · O(n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 24

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

DF (2): लें
AC (3): लें
BE (4): लें
AB (5): लें
BC (8): छोड़ें, चक्र बनता है
BD (10): लें

कुल भार

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 10 = 24

उत्तर

W = 24

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