डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

फ़्लॉयड–वॉर्शल एल्गोरिदम क्या गणना करता है, और कितनी तेज़ी से?

  1. Aएक स्रोत शीर्ष से बाकी सभी तक सबसे छोटे पथ, O(V + E) में
  2. Bएक मिनिमम स्पैनिंग ट्री, O(E log V) में
  3. Cएक टोपोलॉजिकल क्रम, O(V²) में
  4. Dशीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. AX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
  2. Bदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  3. Cदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  4. Dकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कुंजियाँ 5, 3, 8, 1 इसी क्रम में एक ख़ाली ऐरे-आधारित बाइनरी मिन-हीप में डाली जाती हैं। अंतिम ऐरे क्या है?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 14 शीर्ष और 22 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 14|E| = 22
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
71413713624123ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में

यह उत्तर क्यों है

फ़्लॉयड–वॉर्शल एक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम है जो बारी-बारी से हर शीर्ष को मध्यवर्ती बिंदु के रूप में अनुमति देता है, O(V³) समय में।

उत्तर

D · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(1)

यह उत्तर क्यों है

पंक्ति u, स्तंभ v की मैट्रिक्स प्रविष्टि तुरंत बताती है कि किनारा मौजूद है या नहीं; एडजेसेंसी लिस्ट में u के पड़ोसियों को स्कैन करना पड़ सकता है।

उत्तर

A · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · [1, 3, 8, 5]

यह उत्तर क्यों है

5, 3, 8 के बाद ऐरे [3, 5, 8] है; 1 इंडेक्स 3 पर जाता है, अपने पैरेंट 5 से और फिर 3 से स्वैप होता है, जिससे [1, 3, 8, 5] मिलता है।

उत्तर

C · [1, 3, 8, 5]
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 9

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

14 − 1 = 13

हटाई जाने वाली कोरें

k = 22 − 13 = 9

उत्तर

k = 9
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 16

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 7, C: 14
B (7): D: 14, G: 11
G (11): E: 14
C (14)
D (14): F: 16
E (14)
F (16)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 16

उत्तर

d(F) = 16

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