डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n − 1) + O(n) का हल क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

इनमें से कौन-सी संतुष्टि समस्या बहुपदी समय में हल होने योग्य ज्ञात है?

  1. Aकंजंक्टिव नॉर्मल फ़ॉर्म में सूत्रों पर सामान्य SAT
  2. B2-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में अधिकतम दो लिटरल होते हैं
  3. C3-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में ठीक तीन लिटरल होते हैं
  4. Dसर्किट संतुष्टि
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 3 4 5
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक डायनेमिक ऐरे भर जाने पर दोगुना होता है। कई कार्यान्वयन उसे आधा भरा होने के बजाय केवल एक-चौथाई भरा होने पर ही क्यों छोटा करते हैं?

  1. Aसीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
  2. Bक्योंकि आधे पर आधा करने से तत्व खो जाएँगे
  3. Cक्योंकि मेमोरी आवंटक मेमोरी को केवल ब्लॉक के चौथाई भागों में मुक्त कर सकता है
  4. Dऐरे को सॉर्टेड रखने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
38841010128558ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

कार्य का योग लगभग n² / 2 होता है; यह सिलेक्शन सॉर्ट का या सबसे ख़राब पिवट वाले क्विकसॉर्ट का रिकरेंस है।

उत्तर

C · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · 2-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में अधिकतम दो लिटरल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

2-SAT, P में है (स्ट्रॉन्गली कनेक्टेड कंपोनेंट्स से रैखिक समय), जबकि 3-SAT NP-complete है।

उत्तर

B · 2-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में अधिकतम दो लिटरल होते हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 1 2 4 5 3

यह उत्तर क्यों है

प्रीऑर्डर 1, फिर उसका बायाँ सबट्री (2, 4, 5), फिर 3 देखता है; अन्य विकल्प इनऑर्डर, पोस्टऑर्डर और लेवल-ऑर्डर हैं।

उत्तर

A · 1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए

यह उत्तर क्यों है

आधे पर छोटा करने से ऐसे अनुक्रम में हर ऑपरेशन पर आकार बदल सकता है; 1/4 और पूर्ण के बीच का अंतर एमॉर्टाइज़्ड लागत को O(1) रखता है।

उत्तर

A · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

C, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 3, C: 8
2. B (3): D: 7
3. D (7): E: 17, F: 19, G: 12
4. C (8)
5. G (12)
6. E (17)
7. F (19)

चक्र 3

D

उत्तर

D

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