डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्विकसॉर्ट की वर्स्ट-केस टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

  1. A0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
  2. Bफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
  3. Cदोनों रूप
  4. Dकोई भी रूप नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हीपसॉर्ट के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aयह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
  2. Bइसे अतिरिक्त भंडारण के रूप में बाइनरी सर्च ट्री चाहिए, इसलिए यह O(n) अतिरिक्त मेमोरी लेता है
  3. Cयह किसी भी इनपुट पर O(n) समय में चलता है
  4. Dयह स्टेबल है और O(n) अतिरिक्त मेमोरी चाहता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
213181692086141217ABCDEFG

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर DF
  8. 8कोर EF
  9. 9कोर GB
  10. 10कोर GC
  11. 11कोर GD

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

लगातार खराब पिवट (जैसे पहले से सॉर्टेड इनपुट और पहले तत्व को पिवट बनाना) से विभाजन असंतुलित होते हैं, जिससे O(n²) मिलता है। औसत केस O(n log n) है।

उत्तर

C · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

जब वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं, तो पहले सर्वोत्तम अनुपात इष्टतम है; 0/1 नैपसैक में ऊँचे अनुपात वाली वस्तु बेहतर संयोजन को रोक सकती है, इसलिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग चाहिए।

उत्तर

B · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · 1 2 4 5 3

यह उत्तर क्यों है

प्रीऑर्डर 1, फिर उसका बायाँ सबट्री (2, 4, 5), फिर 3 देखता है; अन्य विकल्प इनऑर्डर, पोस्टऑर्डर और लेवल-ऑर्डर हैं।

उत्तर

D · 1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है

यह उत्तर क्यों है

हीपसॉर्ट एक मैक्स-हीप बनाता है और उसी ऐरे के भीतर n बार अधिकतम निकालता है; लंबी दूरी के स्वैप समान कुंजियों का क्रम बदल सकते हैं।

उत्तर

A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

उत्तर

L = 6

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर CE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. AB (2)
2. EF (6)
3. DF (8)
4. CE (9)
5. GC (12)
6. AC (13)

कोर संख्या 4

CE

उत्तर

कोर CE

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