डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बिना वेट वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च (BFS) क्या खोजता है?

  1. Aप्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
  2. Bऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ
  3. Cसभी ग्राफ़ों में एक टोपोलॉजिकल क्रम
  4. Dमिनिमम स्पैनिंग ट्री
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कुक–लेविन प्रमेय ने क्या स्थापित किया?

  1. Aहॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है
  2. Bबूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
  3. Cहर NP समस्या घातांकी समय में हल हो सकती है
  4. DP, NP के बराबर नहीं है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

कुंजियाँ 50, 30, 70, 20, 40 इसी क्रम में एक ख़ाली बाइनरी सर्च ट्री में डाली जाती हैं। 30 का बायाँ चाइल्ड क्या है?

  1. A50
  2. B40
  3. C20
  4. D70
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एडजेसेंसी मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत V शीर्षों वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 6 शीर्ष और 13 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 6|E| = 13
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
3941469521010ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ

यह उत्तर क्यों है

BFS नोड्स को स्रोत से दूरी (एज) के क्रम में देखता है, इसलिए यह O(V + E) में सबसे छोटे बिना वेट वाले पथ खोजता है।

उत्तर

A · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है

यह उत्तर क्यों है

कुक और लेविन ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि NP की हर समस्या बहुपदी समय में SAT में रिड्यूस होती है, इसलिए SAT पहली ज्ञात NP-complete समस्या थी।

उत्तर

B · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 20

यह उत्तर क्यों है

20, 50 से और 30 से छोटा है, इसलिए वह 30 का बायाँ चाइल्ड बनता है; 40 उसका दायाँ चाइल्ड बनता है।

उत्तर

C · 20
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(V²)

यह उत्तर क्यों है

V शीर्षों में से हर एक V प्रविष्टियों की पंक्ति स्कैन करता है, जिससे O(V²) मिलता है; एडजेसेंसी लिस्ट के साथ BFS, O(V + E) है।

उत्तर

D · O(V²)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

6 − 1 = 5

हटाई जाने वाली कोरें

k = 13 − 5 = 8

उत्तर

k = 8
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 16

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 3
B (3): C: 12, D: 7, G: 5
G (5): E: 15
D (7): E: 13, F: 16
C (12)
E (13)
F (16)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 16

उत्तर

d(F) = 16

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