डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1, 3 और 4 के सिक्कों और 6 की राशि के साथ, ग्रीडी "पहले सबसे बड़ा सिक्का" विधि इष्टतम की तुलना में कितने सिक्के उपयोग करती है?

  1. Aग्रीडी 4 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
  2. Bग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
  3. Cग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
  4. Dग्रीडी 2 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हॉल्टिंग समस्या (halting problem) क्या दर्शाती है?

  1. Aकोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं
  2. Bलूप से बचना चाहिए
  3. Cकुछ प्रोग्राम तेज़ कंप्यूटरों पर तेज़ चलते हैं, इसलिए रुकना हार्डवेयर पर निर्भर करता है
  4. Dहर प्रोग्राम अंततः रुक जाता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

सर्कुलर बफ़र (रिंग बफ़र) का उपयोग आमतौर पर किसे लागू करने के लिए किया जाता है?

  1. Aहैश फ़ंक्शन
  2. Bनिश्चित आकार की क्यू
  3. Cग्राफ़ ट्रैवर्सल
  4. Dबाइनरी सर्च ट्री
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री के नियम n कुंजियों वाले ट्री की ऊँचाई के बारे में क्या गारंटी देते हैं?

  1. Aऊँचाई ठीक log2 n है
  2. Bऊँचाई अधिकतम n / 2 है
  3. Cऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
  4. Dऊँचाई अधिकतम log2 n + 1 है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
13487610912ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी 4 + 1 + 1 = 3 सिक्के लेती है, पर 3 + 3 में केवल 2 लगते हैं, इसलिए इस सिक्का प्रणाली के लिए ग्रीडी इष्टतम नहीं है; डायनेमिक प्रोग्रामिंग है।

उत्तर

C · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · कोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं

यह उत्तर क्यों है

Turing ने दिखाया कि हॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है: यह मानना कि कोई निर्णायक मौजूद है, उल्टा व्यवहार करने वाले प्रोग्राम के साथ विरोधाभास पैदा करता है।

उत्तर

A · कोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · निश्चित आकार की क्यू

यह उत्तर क्यों है

रिंग बफ़र head और tail इंडेक्स का उपयोग करता है जो घूमकर वापस आते हैं, जिससे निश्चित मेमोरी में O(1) enqueue और dequeue मिलते हैं।

उत्तर

B · निश्चित आकार की क्यू
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है

यह उत्तर क्यों है

हर पथ में समान संख्या में काले नोड होते हैं और लाल नोड आसन्न नहीं हो सकते, इसलिए सबसे लंबा पथ सबसे छोटे का अधिकतम दोगुना है, जिससे ऊँचाई O(log n) होती है।

उत्तर

C · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 17

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 13, C: 4
C (4): B: 12, G: 5
G (5): E: 7
E (7): D: 13, F: 17
B (12)
D (13)
F (17)

सबसे छोटा पथ

A → C → G → E → F
d(F) = 17

उत्तर

d(F) = 17

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