डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक फ़ंक्शन n इटरेशन का एक लूप चलाता है और फिर, अलग से, n इटरेशन का एक और लूप। इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

  1. AX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
  2. BX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
  3. CX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
  4. DX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम संसाधित करने के लिए अगला शीर्ष चुनने में कौन-सा अमूर्त डेटा प्रकार उपयोग करता है?

  1. Aस्टैक
  2. Bबिना क्रम का सेट
  3. Cमिन-प्रायोरिटी क्यू
  4. DFIFO क्यू
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक ऑब्जेक्ट हैश मैप में कुंजी के रूप में संग्रहीत है, और फिर उसके हैश फ़ंक्शन में प्रयुक्त एक फ़ील्ड बदल दिया जाता है। संभावित परिणाम क्या है?

  1. Aमैप अपने आप कुंजी को उसके नए बकेट में ले जाता है
  2. Bऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है
  3. Cकुछ नहीं बदलता, क्योंकि कुंजी का हैश केवल प्रोग्राम शुरू होने पर एक बार निकाला जाता है
  4. Dफ़ील्ड बदलते ही मैप त्रुटि फेंकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K7 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K7
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
5220128116ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n + n = 2n, और स्थिर गुणक हटा दिए जाते हैं, इसलिए फ़ंक्शन O(n) है।

उत्तर

D · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP में सदस्यता दिखाती है कि X, NP से कठिन नहीं है; किसी ज्ञात NP-complete समस्या से रिडक्शन दिखाता है कि X कम से कम पूरे NP जितनी कठिन है।

उत्तर

C · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · मिन-प्रायोरिटी क्यू

यह उत्तर क्यों है

मिन-प्रायोरिटी क्यू, सामान्यतः बाइनरी हीप, सबसे छोटी दूरी वाला अनदेखा शीर्ष कुशलता से लौटाती है।

उत्तर

C · मिन-प्रायोरिटी क्यू
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · ऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है

यह उत्तर क्यों है

कुंजी का स्थान उसके पुराने हैश से चुना गया था; नए हैश से खोज ग़लत बकेट में होती है, इसलिए कुंजियाँ अपरिवर्तनीय (immutable) होनी चाहिए।

उत्तर

B · ऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 360

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

उत्तर

H = 360
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 24

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

AC (2): लें
AB (5): लें
BE (6): लें
CE (8): छोड़ें, चक्र बनता है
DE (11): लें

कुल भार

W = 2 + 5 + 6 + 11 = 24

उत्तर

W = 24

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