डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1,000,000 तत्वों के सॉर्टेड ऐरे पर बाइनरी सर्च को वर्स्ट केस में लगभग कितनी तुलनाएँ चाहिए?

  1. Aलगभग 20
  2. Bलगभग 500,000
  3. Cलगभग 1,000
  4. Dलगभग 100
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

log(n!) के लिए कौन-सी सीमा सही है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ के लिए एडजेसेंसी लिस्ट कितनी मेमोरी लेती है?

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

union by rank और path compression के साथ union-find (डिसजॉइंट सेट) संरचना की प्रति ऑपरेशन परिशोधित (amortised) लागत क्या है?

  1. Aठीक O(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K6 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K6
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
19912201034176ABCDEFG

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 6 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 6
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर GB
  9. 9कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · लगभग 20

यह उत्तर क्यों है

220 ≈ 1,048,576, इसलिए लगभग 20 बार आधा करने के बाद केवल एक तत्व बचता है।

उत्तर

A · लगभग 20
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Θ(n log n)

यह उत्तर क्यों है

log(n!) ≤ n log n, और सबसे बड़े n / 2 गुणक log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) देते हैं; इसीलिए तुलना-आधारित सॉर्टिंग को Ω(n log n) चाहिए।

उत्तर

A · Θ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(V + E)

यह उत्तर क्यों है

हर शीर्ष की एक लिस्ट है और हर किनारा एक बार (डायरेक्टेड) या दो बार (अनडायरेक्टेड) आता है, जिससे O(V + E) मिलता है।

उत्तर

C · O(V + E)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है

यह उत्तर क्यों है

दोनों अनुकूलनों के साथ ऑपरेशन O(α(n)) परिशोधित समय लेते हैं; किसी भी यथार्थवादी n के लिए α(n) ≤ 4 होता है।

उत्तर

D · O(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 60

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

उत्तर

H = 60
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BC

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. DF (3)
2. EF (4)
3. GE (6)
4. AC (9)
5. CE (10)
6. BC (12)

कोर संख्या 6

BC

उत्तर

कोर BC

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