डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास P की कौन-सी परिभाषा सही है?

  1. Aसमस्याएँ जिन्हें हर कंप्यूटर पर घातांकी समय चाहिए
  2. Bसमस्याएँ जिनके समाधान जाँचे तो जा सकते हैं पर बहुपदी समय में कभी खोजे नहीं जा सकते
  3. Cसमस्याएँ जो समानांतर रूप से हल हो सकती हैं
  4. Dनिर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ट्राई (प्रीफ़िक्स ट्री) विशेष रूप से किसके लिए कुशल है?

  1. Aसंख्याओं को क्रमबद्ध करने के लिए
  2. Bसबसे छोटे पथ खोजने के लिए
  3. Cमैट्रिक्स संग्रहीत करने के लिए
  4. Dऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log log n)
  4. DO(log n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 8
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
12157131161082ABCDEF

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष D से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 2 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Dk = 2
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर DF
  8. 8कोर EF
  9. 9कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

मास्टर प्रमेय से nlog₂ 2 = n स्थिर कार्य पर प्रभावी होता है, इसलिए T(n) = Θ(n), जैसे आधे भागों में बाँटकर अधिकतम खोजने में।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · निर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

P में वे निर्णय समस्याएँ हैं जिनका नियतात्मक बहुपदी-समय एल्गोरिदम है, जैसे यह जाँचना कि कोई ग्राफ़ जुड़ा हुआ है या नहीं।

उत्तर

D · निर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए

यह उत्तर क्यों है

ट्राई स्ट्रिंग्स को पथों के साथ अक्षरों के रूप में संग्रहीत करता है, इसलिए लुकअप और प्रीफ़िक्स क्वेरी में कुंजी की लंबाई के अनुपात में समय लगता है।

उत्तर

D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

A · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

B, C → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर EF

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. DF (10)
2. EF (8)
3. CE (1)
4. BE (2)
5. AB (12)

कोर संख्या 2

EF

उत्तर

कोर EF

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