डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1, 3 और 4 के सिक्कों और 6 की राशि के साथ, ग्रीडी "पहले सबसे बड़ा सिक्का" विधि इष्टतम की तुलना में कितने सिक्के उपयोग करती है?

  1. Aग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
  2. Bग्रीडी 2 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
  3. Cग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
  4. Dग्रीडी 4 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

P और NP के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aयह सिद्ध हो चुका है कि P ≠ NP
  2. BNP का अर्थ है "not polynomial"
  3. CP की हर समस्या NP में भी है
  4. DNP समस्याओं को जल्दी सत्यापित नहीं किया जा सकता
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री हर नोड पर कौन-सी संतुलन शर्त बनाए रखता है?

  1. Aबाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
  2. Bहर नोड लाल या काले रंग का होता है
  3. Cसभी लीफ़ ठीक समान गहराई पर होते हैं
  4. Dहर नोड के दोनों सबट्री में ठीक समान संख्या में नोड होते हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक AVL नोड असंतुलित है क्योंकि उसके बाएँ चाइल्ड का दायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो गया (left-right स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aनोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
  2. Bबाएँ चाइल्ड पर दायाँ रोटेशन, फिर नोड पर बायाँ रोटेशन
  3. Cबाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  4. Dनोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक A से B तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी 4 + 1 + 1 = 3 सिक्के लेती है, पर 3 + 3 में केवल 2 लगते हैं, इसलिए इस सिक्का प्रणाली के लिए ग्रीडी इष्टतम नहीं है; डायनेमिक प्रोग्रामिंग है।

उत्तर

C · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · P की हर समस्या NP में भी है

यह उत्तर क्यों है

P ⊆ NP: यदि आप किसी समस्या को जल्दी हल कर सकते हैं, तो आप समाधान को भी जल्दी सत्यापित कर सकते हैं। P = NP है या नहीं, यह अभी भी खुला प्रश्न है।

उत्तर

C · P की हर समस्या NP में भी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर

यह उत्तर क्यों है

बैलेंस फ़ैक्टर (बाएँ की ऊँचाई − दाएँ की ऊँचाई) −1, 0 या 1 होना चाहिए; इंसर्ट और डिलीट के बाद रोटेशन इसे बहाल करते हैं।

उत्तर

A · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

पहला रोटेशन left-right स्थिति को left-left स्थिति में बदलता है, जिसे फिर असंतुलित नोड पर दायाँ रोटेशन ठीक करता है।

उत्तर

C · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 4

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

एक कदम और

(M³)AB = 2·1 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 4

उत्तर

N = 4

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