डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

m और n लंबाई की स्ट्रिंग्स के लॉन्गेस्ट कॉमन सबसीक्वेंस के लिए मानक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(mn)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(m + n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कुक–लेविन प्रमेय ने क्या स्थापित किया?

  1. Aहर NP समस्या घातांकी समय में हल हो सकती है
  2. Bहॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है
  3. CP, NP के बराबर नहीं है
  4. Dबूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

क्षमता n वाले ऐरे में संग्रहीत सर्कुलर क्यू में इंडेक्स i के बाद अगली स्थिति कैसे निकाली जाती है?

  1. A2i + 1
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D(i − 1) mod n
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डबल हैशिंग मुख्य रूप से लीनियर प्रोबिंग की कौन-सी समस्या घटाती है?

  1. Aहैश फ़ंक्शन की आवश्यकता
  2. Bटेबल में कुंजियाँ संग्रहीत करने की आवश्यकता
  3. Cकिसी कुंजी का मान पढ़ने की O(n) लागत
  4. Dप्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
132110810311ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(mn)

यह उत्तर क्यों है

तालिका में (m + 1)(n + 1) सेल होते हैं और हर एक की गणना उसके पड़ोसियों से O(1) में होती है।

उत्तर

A · O(mn)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है

यह उत्तर क्यों है

कुक और लेविन ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि NP की हर समस्या बहुपदी समय में SAT में रिड्यूस होती है, इसलिए SAT पहली ज्ञात NP-complete समस्या थी।

उत्तर

D · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · (i + 1) mod n

यह उत्तर क्यों है

मॉड्यूलो ऑपरेशन इंडेक्स n − 1 को वापस 0 पर ले आता है, इसलिए तत्वों को खिसकाए बिना ऐरे का दोबारा उपयोग होता है।

उत्तर

C · (i + 1) mod n
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं

यह उत्तर क्यों है

लीनियर प्रोबिंग 1 के क़दम से चलती है, इसलिए भरी शृंखलाएँ बढ़ती और मिलती हैं; डबल हैशिंग क़दम के आकार के लिए दूसरा हैश उपयोग करती है ताकि अलग कुंजियाँ अलग अनुक्रम प्रोब करें।

उत्तर

D · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: B

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 13, C: 2
2. C (2): B: 3, E: 10
3. B (3): D: 13
4. E (10)
5. D (13): F: 16
6. F (16)

चक्र 3

B

उत्तर

B

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