डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

फ़्लॉयड–वॉर्शल एल्गोरिदम क्या गणना करता है, और कितनी तेज़ी से?

  1. Aएक मिनिमम स्पैनिंग ट्री, O(E log V) में
  2. Bएक स्रोत शीर्ष से बाकी सभी तक सबसे छोटे पथ, O(V + E) में
  3. Cएक टोपोलॉजिकल क्रम, O(V²) में
  4. Dशीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्या 22n, O(2ⁿ) में है?

  1. Aनहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
  2. Bनहीं, क्योंकि 22n, 2ⁿ से धीमा बढ़ता है
  3. Cहाँ, क्योंकि Big O में घातांक के स्थिर गुणक हमेशा अनदेखे किए जाते हैं
  4. Dहाँ, क्योंकि दोनों घातांकी हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

सर्कुलर बफ़र (रिंग बफ़र) का उपयोग आमतौर पर किसे लागू करने के लिए किया जाता है?

  1. Aग्राफ़ ट्रैवर्सल
  2. Bबाइनरी सर्च ट्री
  3. Cनिश्चित आकार की क्यू
  4. Dहैश फ़ंक्शन
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस इंडेक्स के लिए प्रायः साधारण B-ट्री के बजाय B+ ट्री का उपयोग क्यों करते हैं?

  1. AB+ ट्री को संतुलित होने की आवश्यकता नहीं है
  2. Bसभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
  3. CB+ ट्री डेटा केवल रूट में संग्रहीत करते हैं
  4. DB+ ट्री आंतरिक नोडों के रूप में बाइनरी नोड उपयोग करते हैं, जिससे डिस्क रीड घटते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
49614845712ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में

यह उत्तर क्यों है

फ़्लॉयड–वॉर्शल एक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम है जो बारी-बारी से हर शीर्ष को मध्यवर्ती बिंदु के रूप में अनुमति देता है, O(V³) समय में।

उत्तर

D · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · नहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

घातांक में जोड़ा गया स्थिरांक एक स्थिर गुणक देता है, पर घातांक को गुणा करने वाला स्थिरांक आधार और वृद्धि दर बदल देता है।

उत्तर

A · नहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · निश्चित आकार की क्यू

यह उत्तर क्यों है

रिंग बफ़र head और tail इंडेक्स का उपयोग करता है जो घूमकर वापस आते हैं, जिससे निश्चित मेमोरी में O(1) enqueue और dequeue मिलते हैं।

उत्तर

C · निश्चित आकार की क्यू
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

B+ ट्री में आंतरिक नोड केवल खोज का मार्गदर्शन करते हैं और लीफ़ कुंजी क्रम में जुड़े होते हैं, इसलिए रेंज प्रश्न पहली कुंजी खोजकर फिर लीफ़ के साथ चलता है।

उत्तर

B · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 14

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

उत्तर

L = 14

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 28

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 4
B (4): C: 13, G: 8
G (8): D: 15, E: 20
C (13)
D (15): F: 29
E (20): F: 28
F (28)

सबसे छोटा पथ

A → B → G → E → F
d(F) = 28

उत्तर

d(F) = 28

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