डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

Aकेवल एक लूप
Bओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
Cकेवल यादृच्छिक इनपुट
Dकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके

2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्या 2²ⁿ, O(2ⁿ) में है?

Aनहीं, क्योंकि 2²ⁿ = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
Bनहीं, क्योंकि 2²ⁿ, 2ⁿ से धीमा बढ़ता है
Cहाँ, क्योंकि दोनों घातांकी हैं
Dहाँ, क्योंकि Big O में घातांक के स्थिर गुणक हमेशा अनदेखे किए जाते हैं

3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी मिन-हीप में extract-min कैसे काम करता है?

Aअंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें
Bरूट हटाकर सभी तत्वों को एक स्थान बाएँ खिसकाएँ
Cऐरे का अंतिम तत्व हटाएँ
Dनए न्यूनतम के लिए सभी लीफ़ खोजें

4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी डेटा संरचना O(1) get और put के साथ LRU (least recently used) कैश को सपोर्ट करती है?

Aडबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप
Bएक अकेला क्रमबद्ध ऐरे
Cकेवल बाइनरी सर्च ट्री
Dकेवल स्टैक

5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 15 शीर्ष और 24 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 15|E| = 24

k =

6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E

d(E) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

B · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · नहीं, क्योंकि 2²ⁿ = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

घातांक में जोड़ा गया स्थिरांक एक स्थिर गुणक देता है, पर घातांक को गुणा करने वाला स्थिरांक आधार और वृद्धि दर बदल देता है।

उत्तर

A · नहीं, क्योंकि 2²ⁿ = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है

3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · अंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें

यह उत्तर क्यों है

अंतिम तत्व रूट का रिक्त स्थान भरता है और हीप गुण पूरा होने तक अपने छोटे चाइल्ड से स्वैप होता है, जिसमें O(log n) लगता है।

उत्तर

A · अंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें

4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप

यह उत्तर क्यों है

हैश मैप नोड्स को O(1) में खोजता है और डबली लिंक्ड लिस्ट उपयोग किए गए तत्वों को आगे ले जाती है तथा पीछे से O(1) में हटाती है।

उत्तर

A · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप

5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 10

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

15 − 1 = 14

हटाई जाने वाली कोरें

k = 24 − 14 = 10

उत्तर

k = 10

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 13

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 6, C: 11

B (6): D: 20, E: 13

C (11)

E (13): D: 16, F: 22

D (16)

F (22)

सबसे छोटा पथ

A → B → E

d(E) = 13

उत्तर

d(E) = 13

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