डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

सरल रिकर्सिव फ़िबोनाची (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. Aलघुगणकीय (Logarithmic)
  2. Bस्थिर (Constant)
  3. Cरैखिक (Linear)
  4. Dघातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. AX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
  2. Bदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  3. Cदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  4. Dकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
  2. Bतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  3. Cलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
  4. Dलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हैश टेबल के सही काम करने के लिए हैश और समानता (equality) को कौन-सा नियम मानना चाहिए?

  1. Aअलग कुंजियों के हैश मान अलग होने चाहिए
  2. Bहैश मान अभाज्य संख्याएँ होने चाहिए
  3. Cसमान हैश मानों का अर्थ है समान कुंजियाँ
  4. Dसमान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 10 शीर्ष और 13 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 10|E| = 13
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
15551491052ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · घातांकी (Exponential)

यह उत्तर क्यों है

कॉल ट्री लगभग φⁿ (करीब 1.618ⁿ) की तरह बढ़ता है। मेमोइज़ेशन इसे O(n) तक घटा देता है।

उत्तर

D · घातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

यह उत्तर क्यों है

यदि दो समान कुंजियों के हैश अलग हों, तो वे अलग बकेटों में संग्रहीत होंगी और खोज विफल होगी; असमान कुंजियाँ फिर भी एक हैश साझा कर सकती हैं।

उत्तर

D · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 4

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

10 − 1 = 9

हटाई जाने वाली कोरें

k = 13 − 9 = 4

उत्तर

k = 4
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 17

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 15, C: 5
C (5): B: 10, E: 14
B (10): D: 24, E: 12
E (12): F: 17
F (17)
D (24)

सबसे छोटा पथ

A → C → B → E → F
d(F) = 17

उत्तर

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms