डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हॉल्टिंग समस्या (halting problem) क्या दर्शाती है?

  1. Aकुछ प्रोग्राम तेज़ कंप्यूटरों पर तेज़ चलते हैं, इसलिए रुकना हार्डवेयर पर निर्भर करता है
  2. Bलूप से बचना चाहिए
  3. Cहर प्रोग्राम अंततः रुक जाता है
  4. Dकोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

V शीर्षों वाले ग्राफ़ का एडजेसेंसी मैट्रिक्स कितनी मेमोरी लेता है?

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक AVL नोड असंतुलित है क्योंकि उसके बाएँ चाइल्ड का दायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो गया (left-right स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aबाएँ चाइल्ड पर दायाँ रोटेशन, फिर नोड पर बायाँ रोटेशन
  2. Bनोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  3. Cनोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
  4. Dबाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 13 शीर्ष और 18 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 13|E| = 18
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1461412265104ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

मास्टर प्रमेय से nlog₂ 2 = n स्थिर कार्य पर प्रभावी होता है, इसलिए T(n) = Θ(n), जैसे आधे भागों में बाँटकर अधिकतम खोजने में।

उत्तर

C · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · कोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं

यह उत्तर क्यों है

Turing ने दिखाया कि हॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है: यह मानना कि कोई निर्णायक मौजूद है, उल्टा व्यवहार करने वाले प्रोग्राम के साथ विरोधाभास पैदा करता है।

उत्तर

D · कोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(V²)

यह उत्तर क्यों है

एडजेसेंसी मैट्रिक्स V × V प्रविष्टियाँ संग्रहीत करता है, जो सघन ग्राफ़ के लिए कुशल है; एडजेसेंसी लिस्ट O(V + E) लेती है, जो विरल ग्राफ़ के लिए बेहतर है।

उत्तर

C · O(V²)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

पहला रोटेशन left-right स्थिति को left-left स्थिति में बदलता है, जिसे फिर असंतुलित नोड पर दायाँ रोटेशन ठीक करता है।

उत्तर

D · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

13 − 1 = 12

हटाई जाने वाली कोरें

k = 18 − 12 = 6

उत्तर

k = 6
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: B

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 14, C: 6
2. C (6): E: 8, G: 16
3. E (8)
4. B (14): D: 26
5. G (16): D: 20
6. D (20): F: 26
7. F (26)

चक्र 4

B

उत्तर

B

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