डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक्टिविटी सिलेक्शन समस्या में कौन-सा ग्रीडी नियम हमेशा अधिकतम संख्या में न-अतिव्यापी गतिविधियाँ देता है?

  1. Aसबसे जल्दी शुरू होने वाली गतिविधि चुनें
  2. Bसबसे जल्दी समाप्त होने वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ
  3. Cपहले सबसे कम अतिव्यापन वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ
  4. Dपहले सबसे छोटी गतिविधि चुनें
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सबसे छोटे सरल पथ बहुपदी समय में खोजे जा सकते हैं। सामान्य ग्राफ़ में दो शीर्षों के बीच सबसे लंबा सरल पथ खोजने के बारे में क्या ज्ञात है?

  1. Aयह NP-hard है
  2. Bइसे ऋणात्मक भारों के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम से हल किया जा सकता है
  3. Cयह अनिर्णेय है
  4. Dयह हमेशा O(V + E) में हल होता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम संसाधित करने के लिए अगला शीर्ष चुनने में कौन-सा अमूर्त डेटा प्रकार उपयोग करता है?

  1. AFIFO क्यू
  2. Bमिन-प्रायोरिटी क्यू
  3. Cबिना क्रम का सेट
  4. Dस्टैक
4.डेटा संरचनाएँकठिन

आपको O(k) मेमोरी से n संख्याओं की एक धारा (stream) से k सबसे छोटे मान रखने हैं। कौन-सा तरीका O(n log k) समय में काम करता है?

  1. Aआकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए
  2. Bसभी n मान रखने वाला मिन-हीप, जिससे अंत में k सबसे छोटे मान निकाले जाते हैं
  3. Cअंतिम k मानों की FIFO क्यू
  4. Dसभी n मानों का सॉर्टेड ऐरे
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 11 शीर्ष और 14 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 11|E| = 14
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
11713617145162312ABCDEFG

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष G से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Gk = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर GB
  9. 9कोर GC
  10. 10कोर GD
  11. 11कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · सबसे जल्दी समाप्त होने वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ

यह उत्तर क्यों है

सबसे जल्दी समाप्ति समय चुनना एक्सचेंज तर्क से इष्टतम सिद्ध किया जा सकता है; अन्य नियमों के प्रति-उदाहरण हैं।

उत्तर

B · सबसे जल्दी समाप्त होने वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · यह NP-hard है

यह उत्तर क्यों है

V − 1 लंबाई का सबसे लंबा सरल पथ एक हैमिल्टोनियन पथ है, जो NP-complete समस्या है; परंतु डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ पर यह रैखिक समय में हल होता है।

उत्तर

A · यह NP-hard है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · मिन-प्रायोरिटी क्यू

यह उत्तर क्यों है

मिन-प्रायोरिटी क्यू, सामान्यतः बाइनरी हीप, सबसे छोटी दूरी वाला अनदेखा शीर्ष कुशलता से लौटाती है।

उत्तर

B · मिन-प्रायोरिटी क्यू
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · आकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए

यह उत्तर क्यों है

मैक्स-हीप का रूट रखा गया सबसे बड़ा मान है; कोई भी छोटा नया मान उसे O(log k) में बदल देता है, इसलिए हीप में हमेशा अब तक के k सबसे छोटे मान रहते हैं।

उत्तर

A · आकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 4

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

11 − 1 = 10

हटाई जाने वाली कोरें

k = 14 − 10 = 4

उत्तर

k = 4
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर AC

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. GC (2)
2. GD (3)
3. BD (6)
4. AC (7)
5. GE (12)
6. EF (5)

कोर संख्या 4

AC

उत्तर

कोर AC

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