डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

सरल रिकर्सिव फ़िबोनाची (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. Aस्थिर (Constant)
  2. Bलघुगणकीय (Logarithmic)
  3. Cघातांकी (Exponential)
  4. Dरैखिक (Linear)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

डायनेमिक प्रोग्रामिंग से हल की गई 0/1 नैपसैक (knapsack) समस्या में O(nW) समय लगता है। इसे स्यूडो-पॉलिनोमियल (pseudo-polynomial) क्यों कहा जाता है?

  1. AW एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
  2. Bक्योंकि n हमेशा छोटा होता है
  3. Cक्योंकि यह केवल W = 0 के लिए काम करता है
  4. Dक्योंकि एल्गोरिदम यादृच्छिक (randomised) है और उसका रनिंग टाइम हर इनपुट के साथ बदलता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

इंडेक्स 0 से शुरू होने वाले ऐरे में संग्रहीत बाइनरी हीप में इंडेक्स i वाले नोड का पैरेंट कहाँ है?

  1. Aइंडेक्स ⌊i / 2⌋ + 1 पर
  2. Bइंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
  3. Cइंडेक्स 2i + 1 पर
  4. Dइंडेक्स i − 1 पर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log log n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1314101512162ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · घातांकी (Exponential)

यह उत्तर क्यों है

कॉल ट्री लगभग φⁿ (करीब 1.618ⁿ) की तरह बढ़ता है। मेमोइज़ेशन इसे O(n) तक घटा देता है।

उत्तर

C · घातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है

यह उत्तर क्यों है

रनिंग टाइम W के मान में बहुपद है लेकिन उसकी लंबाई (log W बिट्स) में घातांकी है; 0/1 नैपसैक NP-complete है।

उत्तर

A · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर

यह उत्तर क्यों है

i के चाइल्ड 2i + 1 और 2i + 2 पर हैं, इसलिए i का पैरेंट ⌊(i − 1) / 2⌋ है; 1-आधारित इंडेक्सिंग में यह ⌊i / 2⌋ है।

उत्तर

B · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

C · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

विषम शीर्ष

B, C, D, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 40

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BE (2): लें
BC (10): लें
CE (12): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (13): लें
AC (14): छोड़ें, चक्र बनता है
BD (15): लें

कुल भार

W = 2 + 10 + 13 + 15 = 40

उत्तर

W = 40

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