डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आधार k में d अंकों वाले n पूर्णांकों पर LSD रेडिक्स सॉर्ट का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(d(n + k))
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम स्रोत से पहुँच योग्य ऋणात्मक-भार चक्र का पता कैसे लगाता है?

  1. AV − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है
  2. Bयह डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च से चक्र गिनता है
  3. Cयह डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम दो बार चलाकर दोनों दूरी परिणामों की तुलना करता है
  4. Dयह जाँचता है कि क्या किसी किनारे का भार ऋणात्मक है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप को बिना किसी पॉइंटर के ऐरे में क्यों संग्रहीत किया जा सकता है?

  1. Aहीप में कभी 100 से अधिक तत्व नहीं होते
  2. Bयह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
  3. Cऐरे अपने आप कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में रखते हैं, इसलिए पॉइंटर की आवश्यकता नहीं होती
  4. Dहीप की सभी कुंजियाँ समान होती हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस इंडेक्स के लिए प्रायः साधारण B-ट्री के बजाय B+ ट्री का उपयोग क्यों करते हैं?

  1. Aसभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
  2. BB+ ट्री डेटा केवल रूट में संग्रहीत करते हैं
  3. CB+ ट्री को संतुलित होने की आवश्यकता नहीं है
  4. DB+ ट्री आंतरिक नोडों के रूप में बाइनरी नोड उपयोग करते हैं, जिससे डिस्क रीड घटते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 5
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1014103513156ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(d(n + k))

यह उत्तर क्यों है

d पासों में से हर एक O(n + k) लागत वाला काउंटिंग सॉर्ट है, इसलिए निश्चित d और k के लिए कुल n में रैखिक है।

उत्तर

D · O(d(n + k))
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · V − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है

यह उत्तर क्यों है

सभी वास्तविक सबसे छोटी दूरियाँ V − 1 दौरों में मिल जाती हैं; यदि कोई किनारा अब भी सुधारा जा सके, तो ऋणात्मक चक्र अवश्य मौजूद है।

उत्तर

A · V − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्णता का अर्थ है कोई अंतराल नहीं, इसलिए इंडेक्स i के चाइल्ड हमेशा 2i + 1 और 2i + 2 पर होते हैं।

उत्तर

B · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

B+ ट्री में आंतरिक नोड केवल खोज का मार्गदर्शन करते हैं और लीफ़ कुंजी क्रम में जुड़े होते हैं, इसलिए रेंज प्रश्न पहली कुंजी खोजकर फिर लीफ़ के साथ चलता है।

उत्तर

A · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 18

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

उत्तर

L = 18

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 31

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 10, C: 14
B (10): D: 13, E: 16
D (13)
C (14)
E (16): F: 31
F (31)

सबसे छोटा पथ

A → B → E → F
d(F) = 31

उत्तर

d(F) = 31

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