डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

वर्स्ट केस में तुलना-आधारित (comparison-based) सॉर्टिंग की निचली सीमा क्या है?

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सा एल्गोरिदम बार-बार ऐसा सबसे सस्ता एज जोड़कर, जो चक्र न बनाए, मिनिमम स्पैनिंग ट्री खोजता है?

  1. Aएक नोड से शुरू होने वाला Prim का एल्गोरिदम
  2. BKruskal का एल्गोरिदम
  3. CFloyd–Warshall
  4. DDijkstra का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री में न्यूनतम कुंजी कैसे खोजते हैं?

  1. Aरूट से दाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई दायाँ चाइल्ड न रहे
  2. Bकेवल रूट को देखें
  3. Cरूट से बाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई बायाँ चाइल्ड न रहे
  4. Dहर लीफ़ पर जाकर उनकी तुलना करें
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस और फ़ाइल सिस्टम में B-ट्री का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Aवे किसी भी ऐरे से कम मेमोरी लेते हैं, इसलिए पूरा इंडेक्स हमेशा मुख्य मेमोरी में समा जाता है
  2. Bउनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
  3. Cवे डेटा को अक्रमबद्ध संग्रहीत करते हैं
  4. Dउन्हें पुनर्संतुलन की आवश्यकता नहीं होती
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K4 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K4
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
271536711142ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Ω(n log n)

यह उत्तर क्यों है

किसी भी तुलना-आधारित सॉर्ट को वर्स्ट केस में कम से कम log₂(n!) ≈ n log n तुलनाओं की आवश्यकता होती है। काउंटिंग सॉर्ट इससे बेहतर है क्योंकि यह तुलना नहीं करता।

उत्तर

A · Ω(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Kruskal का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Kruskal एज को वेट के अनुसार सॉर्ट करता है और उन्हें जोड़ता है यदि वे अलग-अलग घटकों को जोड़ते हैं; Prim एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ही ट्री बढ़ाता है।

उत्तर

B · Kruskal का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · रूट से बाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई बायाँ चाइल्ड न रहे

यह उत्तर क्यों है

सबसे बाएँ नोड से छोटी कोई कुंजी ट्री में नहीं होती, इसलिए वही न्यूनतम है; लागत ऊँचाई के अनुपाती है।

उत्तर

C · रूट से बाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई बायाँ चाइल्ड न रहे
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं

यह उत्तर क्यों है

B-ट्री प्रति नोड कई कुंजियाँ रखते हैं, इसलिए ऊँचाई कम होती है और प्रति लुकअप कम ब्लॉक रीड चाहिए; B+ ट्री रेंज स्कैन के लिए पत्तियों को भी जोड़ते हैं।

उत्तर

B · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

उत्तर

H = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 11

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 2, C: 7
B (2)
C (7): E: 10, G: 8
G (8): D: 22
E (10): D: 16, F: 11
F (11)
D (16)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 11

उत्तर

d(F) = 11

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