डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

n तत्वों के ऐरे के लिए मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन में कितने स्तर होते हैं?

  1. Aलगभग n
  2. Bलगभग log₂ n
  3. Cलगभग √n
  4. Dलगभग n / 2
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या का वर्गीकरण कैसे होता है?

  1. Aयह अनिर्णेय है
  2. Bनिर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard
  3. Cनिर्णय रूप P में है पर ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-complete है
  4. Dयह P में है क्योंकि डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम हर शहर को एक बार देखकर इसे हल करता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री के एक नोड का दायाँ सबट्री है। उसका इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी (successor) कहाँ है?

  1. Aउसके बाएँ सबट्री का सबसे दायाँ नोड
  2. Bउसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
  3. Cहमेशा उसका पैरेंट
  4. Dहमेशा उसका दायाँ चाइल्ड
4.डेटा संरचनाएँकठिन

मानक ब्लूम फ़िल्टर से तत्वों को उनके बिट साफ़ करके सीधे क्यों नहीं हटाया जा सकता?

  1. Aहटाने से फ़ॉल्स पॉज़िटिव दर 100% हो जाएगी
  2. Bब्लूम फ़िल्टर के बिट बनने के बाद बदले नहीं जा सकते
  3. Cवे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे
  4. Dब्लूम फ़िल्टर पूरे तत्व संग्रहीत करते हैं, और हैश हो जाने के बाद उन्हें दोबारा खोजा नहीं जा सकता
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
7841214975235ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E
d(E) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · लगभग log₂ n

यह उत्तर क्यों है

n से 1 तक आधा करते जाने में लगभग log₂ n स्तर लगते हैं, और हर स्तर O(n) मर्जिंग कार्य करता है, जिससे O(n log n) मिलता है।

उत्तर

B · लगभग log₂ n
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · निर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard

यह उत्तर क्यों है

"क्या अधिकतम k लंबाई का कोई टूर है?" NP-complete है; सबसे छोटा टूर खोजना NP-hard है, क्योंकि यह कम से कम उतना ही कठिन है।

उत्तर

B · निर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड

यह उत्तर क्यों है

नोड के निकट की सभी बड़ी कुंजियाँ उसके दाएँ सबट्री में हैं, और उनमें सबसे छोटी वहाँ का सबसे बायाँ नोड है।

उत्तर

B · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · वे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे

यह उत्तर क्यों है

साझा बिट साफ़ करने से कोई दूसरा तत्व अनुपस्थित दिखेगा; काउंटिंग ब्लूम फ़िल्टर हटाने की अनुमति देने के लिए बिट के बजाय काउंटर रखते हैं।

उत्तर

C · वे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 15

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 7, C: 8
B (7): D: 19
C (8): E: 22, G: 10
G (10): D: 13, E: 15
D (13): F: 20
E (15)
F (20)

सबसे छोटा पथ

A → C → G → E
d(E) = 15

उत्तर

d(E) = 15

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