डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) कार्य करें — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

  1. AX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
  2. BX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
  3. CX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
  4. DX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आकार 7 की हैश टेबल h(k) = k mod 7 और लीनियर प्रोबिंग का उपयोग करती है। 10 डालने के बाद 17 कहाँ संग्रहीत होगा?

  1. Aइंडेक्स 3
  2. Bइंडेक्स 0
  3. Cइंडेक्स 6
  4. Dइंडेक्स 4
4.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रमबद्ध लिंक्ड लिस्ट की तुलना में स्किप लिस्ट का मुख्य लाभ क्या है?

  1. Aगारंटीकृत O(1) खोज, क्योंकि हर नोड बाकी हर नोड का पॉइंटर रखता है
  2. Bयह कोई अतिरिक्त मेमोरी नहीं लेती
  3. Cआगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
  4. Dयह कुंजियों को बिना क्रम के संग्रहीत करती है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 8
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
9141811411710ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

भीतरी भाग कुल n(n + 1) / 2 बार चलता है, जो फिर भी द्विघाती है।

उत्तर

B · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP में सदस्यता दिखाती है कि X, NP से कठिन नहीं है; किसी ज्ञात NP-complete समस्या से रिडक्शन दिखाता है कि X कम से कम पूरे NP जितनी कठिन है।

उत्तर

A · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · इंडेक्स 4

यह उत्तर क्यों है

10 mod 7 = 3 और 17 mod 7 = 3; इंडेक्स 3 भरा है, इसलिए लीनियर प्रोबिंग अगला स्लॉट, इंडेक्स 4, आज़माती है।

उत्तर

D · इंडेक्स 4
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक स्तर खोज को कई नोड्स छोड़ने देते हैं, जिससे खोज, इंसर्ट और डिलीट अपेक्षित O(log n) होते हैं।

उत्तर

C · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

C, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 38

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

DF (1): लें
DE (4): लें
AB (9): लें
BE (10): लें
BD (11): छोड़ें, चक्र बनता है
AC (14): लें

कुल भार

W = 1 + 4 + 9 + 10 + 14 = 38

उत्तर

W = 38

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