डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

n तत्वों के ऐरे के लिए मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन में कितने स्तर होते हैं?

  1. Aलगभग n
  2. Bलगभग log₂ n
  3. Cलगभग √n
  4. Dलगभग n / 2
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कुक–लेविन प्रमेय ने क्या स्थापित किया?

  1. Aहर NP समस्या घातांकी समय में हल हो सकती है
  2. BP, NP के बराबर नहीं है
  3. Cबूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
  4. Dहॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक सड़क नेटवर्क में 100,000 जंक्शन हैं, हर एक लगभग 4 अन्य से जुड़ा है। कौन-सा निरूपण सबसे उपयुक्त है?

  1. Aकिनारों का बाइनरी हीप
  2. Bशीर्षों का एक सॉर्टेड ऐरे
  3. Cएडजेसेंसी मैट्रिक्स
  4. Dएडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हीपसॉर्ट के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aयह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
  2. Bयह स्टेबल है और O(n) अतिरिक्त मेमोरी चाहता है
  3. Cइसे अतिरिक्त भंडारण के रूप में बाइनरी सर्च ट्री चाहिए, इसलिए यह O(n) अतिरिक्त मेमोरी लेता है
  4. Dयह किसी भी इनपुट पर O(n) समय में चलता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K4 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K4
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक F से B तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · लगभग log₂ n

यह उत्तर क्यों है

n से 1 तक आधा करते जाने में लगभग log₂ n स्तर लगते हैं, और हर स्तर O(n) मर्जिंग कार्य करता है, जिससे O(n log n) मिलता है।

उत्तर

B · लगभग log₂ n
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है

यह उत्तर क्यों है

कुक और लेविन ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि NP की हर समस्या बहुपदी समय में SAT में रिड्यूस होती है, इसलिए SAT पहली ज्ञात NP-complete समस्या थी।

उत्तर

C · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · एडजेसेंसी लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

मैट्रिक्स को 1010 सेल चाहिए होंगे, लगभग सभी ख़ाली; एडजेसेंसी लिस्ट केवल लगभग 400,000 किनारा प्रविष्टियाँ संग्रहीत करती है।

उत्तर

D · एडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है

यह उत्तर क्यों है

हीपसॉर्ट एक मैक्स-हीप बनाता है और उसी ऐरे के भीतर n बार अधिकतम निकालता है; लंबी दूरी के स्वैप समान कुंजियों का क्रम बदल सकते हैं।

उत्तर

A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

उत्तर

H = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 0 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

एक कदम और

(M³)FB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 2·0 = 1

उत्तर

N = 1

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