डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

किसी समस्या में इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure) होने का क्या अर्थ है?

  1. Aहर उप-समस्या का आकार समान है
  2. Bसमस्या को स्थिर समय में हल किया जा सकता है
  3. Cएक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
  4. Dसमस्या का ठीक एक इष्टतम समाधान है, जो हर उप-समस्या में साझा होता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

little-o नोटेशन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. An = o(n), क्योंकि हर फलन स्वयं का little-o है
  2. Bn = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
  3. C2n = o(n), क्योंकि 2n धीरे बढ़ता है
  4. Dn² = o(n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

"{[()]}" में कोष्ठक संतुलित हैं या नहीं, यह जाँचने के लिए कौन-सी डेटा संरचना उपयोग होती है?

  1. Aस्टैक
  2. Bबाइनरी सर्च ट्री
  3. Cक्यू
  4. Dहैश टेबल
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में डिलीशन अक्सर "टॉम्बस्टोन" चिह्न से क्यों किया जाता है?

  1. Aटॉम्बस्टोन हैशिंग को तेज़ करते हैं
  2. Bस्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
  3. Cसुरक्षा के लिए हटाई गई कुंजियाँ हमेशा रखनी पड़ती हैं, इसलिए स्लॉट दोबारा उपयोग नहीं हो सकते
  4. Dइससे टेबल क्रमबद्ध हो जाती है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 9 शीर्ष और 11 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 9|E| = 11
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
101918121142717ABCDEFG

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष A से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 2 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Ak = 2
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर BC
  3. 3कोर BD
  4. 4कोर CE
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर GB
  9. 9कोर GD
  10. 10कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · एक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम और डायनेमिक प्रोग्रामिंग दोनों के सही उत्तर देने के लिए इष्टतम उप-संरचना आवश्यक है।

उत्तर

C · एक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है

यह उत्तर क्यों है

f = o(g) का अर्थ है कि f(n) / g(n), 0 की ओर जाता है; n / n², 0 की ओर जाता है, पर n / n = 1 नहीं।

उत्तर

B · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

हर खुलने वाले कोष्ठक को push करें और बंद होने वाला कोष्ठक आने पर pop करें; वह pop किए गए कोष्ठक से मेल खाना चाहिए और अंत में स्टैक ख़ाली होना चाहिए।

उत्तर

A · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है

यह उत्तर क्यों है

यदि हटाया गया स्लॉट खाली हो जाए, तो बाद की खोजें जल्दी रुक सकती हैं और प्रोब श्रृंखला में आगे रखी गई कुंजियाँ छूट सकती हैं।

उत्तर

B · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

9 − 1 = 8

हटाई जाने वाली कोरें

k = 11 − 8 = 3

उत्तर

k = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BD

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. AB (10)
2. BD (1)
3. GB (2)
4. DF (11)
5. EF (4)
6. CE (8)

कोर संख्या 2

BD

उत्तर

कोर BD

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