डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आप n तत्वों का ऐरे एक बार सॉर्ट करते हैं और फिर बाइनरी सर्च से k सदस्यता प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कुल लागत क्या है?

  1. AO(n + k)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सा एल्गोरिदम बार-बार ऐसा सबसे सस्ता एज जोड़कर, जो चक्र न बनाए, मिनिमम स्पैनिंग ट्री खोजता है?

  1. AFloyd–Warshall
  2. BKruskal का एल्गोरिदम
  3. Cएक नोड से शुरू होने वाला Prim का एल्गोरिदम
  4. DDijkstra का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

पोस्टफ़िक्स एक्सप्रेशन 3 4 + 2 * का मान क्या है?

  1. A10
  2. B11
  3. C14
  4. D24
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री को कौन-सा गुण अवश्य पूरा करना चाहिए?

  1. Aरूट लाल होना चाहिए
  2. Bकिसी नोड से उसकी वंशज पत्तियों तक के हर पथ में काले नोड्स की संख्या समान होती है
  3. Cहर लाल नोड के चाइल्ड लाल होने चाहिए, इसलिए लाल नोड्स पत्तियों तक अटूट शृंखला बनाते हैं
  4. Dहर नोड लाल होना चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 3 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
12286211766ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n log n + k log n)

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टिंग में O(n log n) और हर प्रश्न में O(log n) लगता है; जब k बड़ा हो तो यह k रैखिक स्कैन (O(nk)) से बेहतर है।

उत्तर

B · O(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Kruskal का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Kruskal एज को वेट के अनुसार सॉर्ट करता है और उन्हें जोड़ता है यदि वे अलग-अलग घटकों को जोड़ते हैं; Prim एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ही ट्री बढ़ाता है।

उत्तर

B · Kruskal का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 14

यह उत्तर क्यों है

3 और 4 push करें, + से 7 मिलता है; 2 push करें, * से 7 × 2 = 14 मिलता है।

उत्तर

C · 14
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · किसी नोड से उसकी वंशज पत्तियों तक के हर पथ में काले नोड्स की संख्या समान होती है

यह उत्तर क्यों है

रेड-ब्लैक नियम: नोड लाल या काले होते हैं, रूट काला होता है, लाल नोड्स के चाइल्ड काले होते हैं, और सभी पथों की ब्लैक-हाइट समान होती है, जिससे ऊँचाई ≤ 2 log₂(n + 1) रहती है।

उत्तर

B · किसी नोड से उसकी वंशज पत्तियों तक के हर पथ में काले नोड्स की संख्या समान होती है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 17

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

उत्तर

L = 17

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 25

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 12, C: 2
C (2): B: 10, G: 8
G (8): D: 14
B (10)
D (14): E: 16, F: 25
E (16)
F (25)

सबसे छोटा पथ

A → C → G → D → F
d(F) = 25

उत्तर

d(F) = 25

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