डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मर्ज सॉर्ट के लिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग कोई वास्तविक गति-वृद्धि क्यों नहीं देती?

  1. Aमर्ज सॉर्ट पहले से ही O(n) है
  2. Bइसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है
  3. Cडायनेमिक प्रोग्रामिंग केवल ग्राफ़ समस्याओं पर काम करती है, ऐरे पर नहीं
  4. Dमर्ज सॉर्ट की कोई रिकर्सिव संरचना नहीं है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बड़े n के लिए n! और 2ⁿ की तुलना कैसी है?

  1. A2ⁿ, n! से तेज़ बढ़ता है
  2. Bn!, O(n²) है
  3. Cn!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
  4. Dदोनों एक ही दर से बढ़ते हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री के एक नोड का दायाँ सबट्री है। उसका इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी (successor) कहाँ है?

  1. Aउसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
  2. Bहमेशा उसका दायाँ चाइल्ड
  3. Cहमेशा उसका पैरेंट
  4. Dउसके बाएँ सबट्री का सबसे दायाँ नोड
4.डेटा संरचनाएँकठिन

union by rank या path compression के बिना, n तत्वों वाली union-find संरचना में एक find की वर्स्ट-केस लागत क्या है?

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K7 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K7
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
513162811112ABCDEF

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष E से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Ek = 3
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर CE
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · इसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है

यह उत्तर क्यों है

मर्ज सॉर्ट के आधे भाग असंयुक्त हैं और हर एक एक बार हल होता है; DP केवल तब मदद करती है जब उप-समस्याएँ दोहराई जाती हैं, जैसे फ़िबोनाची में।

उत्तर

B · इसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · n!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

n ≥ 4 के लिए n!, 2ⁿ से अधिक है, और अनुपात असीमित रूप से बढ़ता है क्योंकि n! का हर अतिरिक्त गुणक 2 से बड़ा है।

उत्तर

C · n!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड

यह उत्तर क्यों है

नोड के निकट की सभी बड़ी कुंजियाँ उसके दाएँ सबट्री में हैं, और उनमें सबसे छोटी वहाँ का सबसे बायाँ नोड है।

उत्तर

A · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

सरल union ट्री को एक लंबी शृंखला में जोड़ सकते हैं, इसलिए find को n − 1 पैरेंट पॉइंटरों का अनुसरण करना पड़ सकता है; दोनों ह्यूरिस्टिक इसे लगभग स्थिर कर देते हैं।

उत्तर

D · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 360

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

उत्तर

H = 360
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर DE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. EF (1)
2. CE (2)
3. DE (8)
4. BE (12)
5. AB (5)

कोर संख्या 3

DE

उत्तर

कोर DE

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