डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

  1. AX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
  2. BX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
  3. CX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
  4. DX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप को बिना किसी पॉइंटर के ऐरे में क्यों संग्रहीत किया जा सकता है?

  1. Aयह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
  2. Bऐरे अपने आप कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में रखते हैं, इसलिए पॉइंटर की आवश्यकता नहीं होती
  3. Cहीप में कभी 100 से अधिक तत्व नहीं होते
  4. Dहीप की सभी कुंजियाँ समान होती हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

union by rank या path compression के बिना, n तत्वों वाली union-find संरचना में एक find की वर्स्ट-केस लागत क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 4 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
6571557213ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(2ⁿ)

यह उत्तर क्यों है

हर स्तर पर कॉलों की संख्या दोगुनी होती है और n स्तर हैं, इसलिए कुल लगभग 2ⁿ है, जैसे टावर्स ऑफ़ हनोई में।

उत्तर

A · O(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP में सदस्यता दिखाती है कि X, NP से कठिन नहीं है; किसी ज्ञात NP-complete समस्या से रिडक्शन दिखाता है कि X कम से कम पूरे NP जितनी कठिन है।

उत्तर

B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्णता का अर्थ है कोई अंतराल नहीं, इसलिए इंडेक्स i के चाइल्ड हमेशा 2i + 1 और 2i + 2 पर होते हैं।

उत्तर

A · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

सरल union ट्री को एक लंबी शृंखला में जोड़ सकते हैं, इसलिए find को n − 1 पैरेंट पॉइंटरों का अनुसरण करना पड़ सकता है; दोनों ह्यूरिस्टिक इसे लगभग स्थिर कर देते हैं।

उत्तर

D · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 11

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

उत्तर

L = 11

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 20

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 6
B (6): C: 11, D: 13, E: 19
C (11)
D (13): E: 18, F: 20
E (18)
F (20)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 20

उत्तर

d(F) = 20

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