डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बिना वेट वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च (BFS) क्या खोजता है?

  1. Aप्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
  2. Bमिनिमम स्पैनिंग ट्री
  3. Cऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ
  4. Dसभी ग्राफ़ों में एक टोपोलॉजिकल क्रम
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सा एल्गोरिदम बार-बार ऐसा सबसे सस्ता एज जोड़कर, जो चक्र न बनाए, मिनिमम स्पैनिंग ट्री खोजता है?

  1. AKruskal का एल्गोरिदम
  2. BFloyd–Warshall
  3. Cएक नोड से शुरू होने वाला Prim का एल्गोरिदम
  4. DDijkstra का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

संतुलित बाइनरी सर्च ट्री में किसी कुंजी को खोजने की समय जटिलता क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

AVL ट्री में एक कुंजी डालने से किसी नोड का बायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो जाता है, और नई कुंजी उसके बाएँ चाइल्ड के बाएँ सबट्री में गई (left-left स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aनोड और उसके चाइल्ड का रंग बदलना
  2. Bचाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  3. Cअसंतुलित नोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  4. Dअसंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 7 शीर्ष और 11 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 7|E| = 11
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
121985171811ABCDE

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 2 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 2
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ

यह उत्तर क्यों है

BFS नोड्स को स्रोत से दूरी (एज) के क्रम में देखता है, इसलिए यह O(V + E) में सबसे छोटे बिना वेट वाले पथ खोजता है।

उत्तर

A · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Kruskal का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Kruskal एज को वेट के अनुसार सॉर्ट करता है और उन्हें जोड़ता है यदि वे अलग-अलग घटकों को जोड़ते हैं; Prim एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ही ट्री बढ़ाता है।

उत्तर

A · Kruskal का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

संतुलित ट्री की ऊँचाई लगभग log₂ n होती है, इसलिए खोज रूट से पत्ती तक एक ही पथ का अनुसरण करती है।

उत्तर

D · O(log n)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

Left-left स्थिति में एक दायाँ रोटेशन बाएँ चाइल्ड को ऊपर उठाकर संतुलन बहाल करता है; zig-zag स्थितियों में दोहरा रोटेशन चाहिए।

उत्तर

D · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 5

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

7 − 1 = 6

हटाई जाने वाली कोरें

k = 11 − 6 = 5

उत्तर

k = 5
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BC

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. BD (5)
2. BC (8)
3. BE (11)
4. AB (12)

कोर संख्या 2

BC

उत्तर

कोर BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms