डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बिना वेट वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च (BFS) क्या खोजता है?

  1. Aसभी ग्राफ़ों में एक टोपोलॉजिकल क्रम
  2. Bऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ
  3. Cप्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
  4. Dमिनिमम स्पैनिंग ट्री
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

अनसॉर्टेड ऐरे का k-वाँ सबसे छोटा तत्व चुनने के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aसिलेक्शन को हमेशा Ω(n log n) चाहिए क्योंकि उसे सॉर्टिंग चाहिए
  2. Bसिलेक्शन केवल O(n²) में संभव है
  3. Cक्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है
  4. Dक्विकसिलेक्ट वर्स्ट केस में O(log n) में चलता है क्योंकि वह पिवट के केवल एक ओर रिकर्स करता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप में नया तत्व कैसे डाला जाता है?

  1. Aसभी बड़े तत्वों को एक स्थान दाएँ खिसकाकर उसे उसकी सॉर्टेड स्थिति में डालें
  2. Bउसे रूट पर रखें और नीचे sift करें
  3. Cपूरे हीप को फिर से शुरू से बनाएँ
  4. Dउसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(log n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 10 शीर्ष और 20 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 10|E| = 20
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
2615811212311ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ

यह उत्तर क्यों है

BFS नोड्स को स्रोत से दूरी (एज) के क्रम में देखता है, इसलिए यह O(V + E) में सबसे छोटे बिना वेट वाले पथ खोजता है।

उत्तर

C · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · क्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक पिवटों के साथ क्विकसिलेक्ट का अपेक्षित कार्य n + n/2 + n/4 + ... = O(n) है; पिवट को मीडियन ऑफ़ मीडियन्स के रूप में चुनने से वर्स्ट केस रैखिक हो जाता है।

उत्तर

C · क्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · उसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें

यह उत्तर क्यों है

अंत में जोड़ने से ट्री पूर्ण रहता है; पैरेंट से स्वैप करना O(log n) चरणों में क्रम बहाल करता है।

उत्तर

D · उसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

D · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 11

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

10 − 1 = 9

हटाई जाने वाली कोरें

k = 20 − 9 = 11

उत्तर

k = 11
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 15

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 2, C: 6
B (2): D: 10, E: 13
C (6)
D (10): E: 12, F: 22
E (12): F: 15
F (15)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → E → F
d(F) = 15

उत्तर

d(F) = 15

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