डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आधार k में d अंकों वाले n पूर्णांकों पर LSD रेडिक्स सॉर्ट का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(d(n + k))
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

मास्टर प्रमेय का उपयोग करके T(n) = 8T(n/2) + O(n²) का हल क्या है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n³)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

कौन-सी टकराव समाधान (collision resolution) विधि टकराने वाली कुंजियों को उसी बकेट में एक सूची में संग्रहीत करती है?

  1. Aलीनियर प्रोबिंग (Linear probing)
  2. Bसेपरेट चेनिंग (Separate chaining)
  3. Cडबल हैशिंग (Double hashing)
  4. Dक्वाड्रैटिक प्रोबिंग (Quadratic probing)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एडजेसेंसी मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत V शीर्षों वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 9 शीर्ष और 9 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 9|E| = 9
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
418392134ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(d(n + k))

यह उत्तर क्यों है

d पासों में से हर एक O(n + k) लागत वाला काउंटिंग सॉर्ट है, इसलिए निश्चित d और k के लिए कुल n में रैखिक है।

उत्तर

D · O(d(n + k))
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · Θ(n³)

यह उत्तर क्यों है

log₂ 8 = 3, और n² की वृद्धि n³ से धीमी है, इसलिए पत्तियाँ हावी होती हैं: Θ(n³)।

उत्तर

D · Θ(n³)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · सेपरेट चेनिंग (Separate chaining)

यह उत्तर क्यों है

चेनिंग प्रत्येक बकेट के लिए एक लिंक्ड लिस्ट (या अन्य संरचना) रखती है; ओपन एड्रेसिंग टेबल में ही कोई अन्य खाली स्थान खोजती है।

उत्तर

B · सेपरेट चेनिंग (Separate chaining)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(V²)

यह उत्तर क्यों है

V शीर्षों में से हर एक V प्रविष्टियों की पंक्ति स्कैन करता है, जिससे O(V²) मिलता है; एडजेसेंसी लिस्ट के साथ BFS, O(V + E) है।

उत्तर

D · O(V²)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

9 − 1 = 8

हटाई जाने वाली कोरें

k = 9 − 8 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: B

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 4, C: 1
2. C (1): E: 10
3. B (4): D: 7, E: 8
4. D (7): F: 9
5. E (8)
6. F (9)

चक्र 3

B

उत्तर

B

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