डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कौन-सा सॉर्टिंग एल्गोरिदम स्थिर (stable) है?

  1. Aमर्ज सॉर्ट
  2. Bक्विकसॉर्ट (सामान्य इन-प्लेस संस्करण)
  3. Cसेलेक्शन सॉर्ट (सामान्य संस्करण)
  4. Dहीप सॉर्ट
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बाइनरी काउंटर को बढ़ाने (increment) की एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है, यह देखते हुए कि एक वृद्धि कई बिट पलट सकती है?

  1. Aप्रति वृद्धि O(1)
  2. Bप्रति वृद्धि O(n log n)
  3. Cप्रति वृद्धि O(n)
  4. Dप्रति वृद्धि O(log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

निश्चित वर्णमाला वाले ट्राई (trie) में L लंबाई के शब्द को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
  2. BO(n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सिंपल यूनिफ़ॉर्म हैशिंग के अंतर्गत n कुंजियों और m बकेटों वाली चेनिंग हैश टेबल में खोज का अपेक्षित समय क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(log n)
  4. DO(1 + α), जहाँ α = n / m
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 15 शीर्ष और 15 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 15|E| = 15
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
681536518ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · मर्ज सॉर्ट

यह उत्तर क्यों है

मर्ज सॉर्ट स्थिर होता है जब बराबरी की स्थिति में मर्ज करते समय पहले बाएँ आधे से तत्व लिया जाए। इन-प्लेस क्विकसॉर्ट, हीप सॉर्ट और सेलेक्शन सॉर्ट आमतौर पर स्थिर नहीं होते।

उत्तर

A · मर्ज सॉर्ट
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · प्रति वृद्धि O(1)

यह उत्तर क्यों है

n वृद्धियों में बिट i लगभग n / 2ⁱ बार पलटता है, इसलिए कुल 2n से कम पलटाव होते हैं, यानी प्रति वृद्धि औसत O(1)।

उत्तर

A · प्रति वृद्धि O(1)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र

यह उत्तर क्यों है

हर अक्षर एक चाइल्ड चुनता है, इसलिए ट्राई में कितने भी शब्द हों, खोज में L चरण लगते हैं।

उत्तर

A · O(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1 + α), जहाँ α = n / m

यह उत्तर क्यों है

हैश की गणना में O(1) लगता है और अपेक्षित शृंखला लंबाई α है, इसलिए आकार बदलकर α को सीमित रखने से O(1) अपेक्षित समय मिलता है।

उत्तर

D · O(1 + α), जहाँ α = n / m
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

15 − 1 = 14

हटाई जाने वाली कोरें

k = 15 − 14 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 10

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 6, C: 8
B (6): D: 9, E: 14
C (8)
D (9): F: 10
F (10)
E (14)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 10

उत्तर

d(F) = 10

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