डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कई लाइब्रेरी सॉर्टिंग रूटीन बहुत छोटे सबऐरे के लिए इंसर्शन सॉर्ट पर क्यों चली जाती हैं?

  1. Aरिकर्सिव एल्गोरिदम 10 से कम तत्वों वाले ऐरे नहीं सँभाल सकते
  2. Bइंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
  3. Cइंसर्शन सॉर्ट वर्स्ट केस में O(n log n) है
  4. Dबड़े इनपुट पर इंसर्शन सॉर्ट किसी भी अन्य सॉर्टिंग एल्गोरिदम से कम मेमोरी उपयोग करता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

  1. Aदोनों रूप
  2. B0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
  3. Cफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
  4. Dकोई भी रूप नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री में न्यूनतम कुंजी कैसे खोजते हैं?

  1. Aहर लीफ़ पर जाकर उनकी तुलना करें
  2. Bकेवल रूट को देखें
  3. Cरूट से दाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई दायाँ चाइल्ड न रहे
  4. Dरूट से बाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई बायाँ चाइल्ड न रहे
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री के नियम n कुंजियों वाले ट्री की ऊँचाई के बारे में क्या गारंटी देते हैं?

  1. Aऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
  2. Bऊँचाई ठीक log2 n है
  3. Cऊँचाई अधिकतम n / 2 है
  4. Dऊँचाई अधिकतम log2 n + 1 है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
987121413927214ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 6 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · इंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है

यह उत्तर क्यों है

छोटे n के लिए इंसर्शन सॉर्ट का सरल लूप क्विकसॉर्ट या मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन ओवरहेड को पीछे छोड़ देता है, भले ही वह O(n²) हो।

उत्तर

B · इंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

जब वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं, तो पहले सर्वोत्तम अनुपात इष्टतम है; 0/1 नैपसैक में ऊँचे अनुपात वाली वस्तु बेहतर संयोजन को रोक सकती है, इसलिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग चाहिए।

उत्तर

C · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · रूट से बाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई बायाँ चाइल्ड न रहे

यह उत्तर क्यों है

सबसे बाएँ नोड से छोटी कोई कुंजी ट्री में नहीं होती, इसलिए वही न्यूनतम है; लागत ऊँचाई के अनुपाती है।

उत्तर

D · रूट से बाएँ चाइल्ड का अनुसरण तब तक करें जब तक कोई बायाँ चाइल्ड न रहे
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है

यह उत्तर क्यों है

हर पथ में समान संख्या में काले नोड होते हैं और लाल नोड आसन्न नहीं हो सकते, इसलिए सबसे लंबा पथ सबसे छोटे का अधिकतम दोगुना है, जिससे ऊँचाई O(log n) होती है।

उत्तर

A · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 9, C: 8
2. C (8): E: 22, G: 15
3. B (9): D: 21, G: 11
4. G (11): D: 13
5. D (13): F: 26
6. E (22)
7. F (26)

चक्र 6

E

उत्तर

E

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