डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मर्ज सॉर्ट के लिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग कोई वास्तविक गति-वृद्धि क्यों नहीं देती?

  1. Aडायनेमिक प्रोग्रामिंग केवल ग्राफ़ समस्याओं पर काम करती है, ऐरे पर नहीं
  2. Bमर्ज सॉर्ट की कोई रिकर्सिव संरचना नहीं है
  3. Cमर्ज सॉर्ट पहले से ही O(n) है
  4. Dइसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

  1. AX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
  2. BX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
  3. CX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
  4. DX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

पोस्टफ़िक्स एक्सप्रेशन 3 4 + 2 * का मान क्या है?

  1. A24
  2. B10
  3. C11
  4. D14
4.डेटा संरचनाएँकठिन

स्प्ले ट्री हर पहुँच के बाद क्या करता है?

  1. Aपहुँचे गए नोड को एक लीफ़ पर ले जाता है
  2. Bखोज पथ के नोडों का रंग बदलता है
  3. Cपूरे ट्री को संतुलित रूप में फिर से बनाता है
  4. Dपहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 6 शीर्ष और 12 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 6|E| = 12
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1621392121059ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · इसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है

यह उत्तर क्यों है

मर्ज सॉर्ट के आधे भाग असंयुक्त हैं और हर एक एक बार हल होता है; DP केवल तब मदद करती है जब उप-समस्याएँ दोहराई जाती हैं, जैसे फ़िबोनाची में।

उत्तर

D · इसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP में सदस्यता दिखाती है कि X, NP से कठिन नहीं है; किसी ज्ञात NP-complete समस्या से रिडक्शन दिखाता है कि X कम से कम पूरे NP जितनी कठिन है।

उत्तर

B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · 14

यह उत्तर क्यों है

3 और 4 push करें, + से 7 मिलता है; 2 push करें, * से 7 × 2 = 14 मिलता है।

उत्तर

D · 14
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है

यह उत्तर क्यों है

स्प्लेइंग रोटेशनों से पहुँचे गए नोड को रूट पर ले जाती है; एक ऑपरेशन में O(n) लग सकता है, पर एमॉर्टाइज़्ड लागत O(log n) है।

उत्तर

D · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 7

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

6 − 1 = 5

हटाई जाने वाली कोरें

k = 12 − 5 = 7

उत्तर

k = 7
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: C

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 1
2. B (1): C: 7, D: 3, G: 13
3. D (3): F: 12, G: 8
4. C (7): E: 20
5. G (8): E: 17
6. F (12): E: 14
7. E (14)

चक्र 4

C

उत्तर

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms