डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

m और n लंबाई की स्ट्रिंग्स के लॉन्गेस्ट कॉमन सबसीक्वेंस के लिए मानक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn)
  4. DO(2m+n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास P की कौन-सी परिभाषा सही है?

  1. Aसमस्याएँ जिनके समाधान जाँचे तो जा सकते हैं पर बहुपदी समय में कभी खोजे नहीं जा सकते
  2. Bसमस्याएँ जो समानांतर रूप से हल हो सकती हैं
  3. Cसमस्याएँ जिन्हें हर कंप्यूटर पर घातांकी समय चाहिए
  4. Dनिर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक क्यू दो स्टैक से बनाई गई है: "in" स्टैक पर push करें, और "out" स्टैक से pop करें, ख़ाली होने पर उसे "in" से फिर भरें। प्रति ऑपरेशन एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n संख्याओं के ऐरे पर फ़ेनविक ट्री (बाइनरी इंडेक्स्ड ट्री) कौन-से ऑपरेशन O(log n) में समर्थित करता है?

  1. Aप्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
  2. BO(1) में माध्यिका खोजना
  3. Cकिसी भी स्थिति पर तत्व डालना
  4. Dऐरे सॉर्ट करना और बाइनरी सर्च
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
181161541314103191ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 11
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(mn)

यह उत्तर क्यों है

तालिका में (m + 1)(n + 1) सेल होते हैं और हर एक की गणना उसके पड़ोसियों से O(1) में होती है।

उत्तर

C · O(mn)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · निर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

P में वे निर्णय समस्याएँ हैं जिनका नियतात्मक बहुपदी-समय एल्गोरिदम है, जैसे यह जाँचना कि कोई ग्राफ़ जुड़ा हुआ है या नहीं।

उत्तर

D · निर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

हर तत्व कुल मिलाकर अधिकतम दो बार push और pop होता है, इसलिए भले ही एक बार फिर से भरने में O(n) लगे, अनुक्रम पर औसत O(1) है।

उत्तर

D · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट

यह उत्तर क्यों है

फ़ेनविक ट्री हर इंडेक्स के निचले बिटों से निर्धारित रेंजों के आंशिक योग संग्रहीत करता है, इसलिए प्रीफ़िक्स योग और पॉइंट अपडेट दोनों में O(log n) लगता है।

उत्तर

A · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 10

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

उत्तर

L = 10

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 38

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

GE (1): लें
GC (3): लें
DE (4): लें
BC (6): लें
GB (10): छोड़ें, चक्र बनता है
AC (11): लें
DF (13): लें

कुल भार

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 11 + 13 = 38

उत्तर

W = 38

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