डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. Aदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  2. BX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
  3. Cदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  4. Dकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

यदि कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में डाली जाएँ, तो n नोड वाले बाइनरी सर्च ट्री की सबसे खराब स्थिति में ऊँचाई क्या होगी?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. Cn (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
  4. D1
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस और फ़ाइल सिस्टम में B-ट्री का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Aवे डेटा को अक्रमबद्ध संग्रहीत करते हैं
  2. Bवे किसी भी ऐरे से कम मेमोरी लेते हैं, इसलिए पूरा इंडेक्स हमेशा मुख्य मेमोरी में समा जाता है
  3. Cउन्हें पुनर्संतुलन की आवश्यकता नहीं होती
  4. Dउनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K5 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K5
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक E से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(2ⁿ)

यह उत्तर क्यों है

हर स्तर पर कॉलों की संख्या दोगुनी होती है और n स्तर हैं, इसलिए कुल लगभग 2ⁿ है, जैसे टावर्स ऑफ़ हनोई में।

उत्तर

D · O(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)

यह उत्तर क्यों है

क्रमबद्ध इंसर्शन से n ऊँचाई वाला विकृत (degenerate) ट्री बनता है, जिससे खोज O(n) हो जाती है। संतुलित ट्री इसे रोकते हैं।

उत्तर

C · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं

यह उत्तर क्यों है

B-ट्री प्रति नोड कई कुंजियाँ रखते हैं, इसलिए ऊँचाई कम होती है और प्रति लुकअप कम ब्लॉक रीड चाहिए; B+ ट्री रेंज स्कैन के लिए पत्तियों को भी जोड़ते हैं।

उत्तर

D · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

उत्तर

H = 12
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 3

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 3

उत्तर

N = 3

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