डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्विकसॉर्ट की वर्स्ट-केस टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हॉल्टिंग समस्या (halting problem) क्या दर्शाती है?

  1. Aहर प्रोग्राम अंततः रुक जाता है
  2. Bलूप से बचना चाहिए
  3. Cकुछ प्रोग्राम तेज़ कंप्यूटरों पर तेज़ चलते हैं, इसलिए रुकना हार्डवेयर पर निर्भर करता है
  4. Dकोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

  1. Aहीप
  2. Bस्टैक
  3. Cकेवल हैश टेबल
  4. Dक्यू
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ट्रैवर्सलों का कौन-सा युग्म भिन्न कुंजियों वाले एक अद्वितीय बाइनरी ट्री को हमेशा निर्धारित करता है?

  1. Aप्रीऑर्डर और पोस्टऑर्डर
  2. Bकेवल प्रीऑर्डर
  3. Cप्रीऑर्डर और इनऑर्डर
  4. Dकेवल लेवल-ऑर्डर
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
10354167818199ABCDEFG

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 6 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 6
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर DF
  8. 8कोर EF
  9. 9कोर GC
  10. 10कोर GD

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

लगातार खराब पिवट (जैसे पहले से सॉर्टेड इनपुट और पहले तत्व को पिवट बनाना) से विभाजन असंतुलित होते हैं, जिससे O(n²) मिलता है। औसत केस O(n log n) है।

उत्तर

B · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · कोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं

यह उत्तर क्यों है

Turing ने दिखाया कि हॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है: यह मानना कि कोई निर्णायक मौजूद है, उल्टा व्यवहार करने वाले प्रोग्राम के साथ विरोधाभास पैदा करता है।

उत्तर

D · कोई भी एल्गोरिदम हर प्रोग्राम और इनपुट के लिए यह तय नहीं कर सकता कि वह रुकेगा या नहीं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

DFS जितना संभव हो उतना गहराई तक जाती है, इसलिए स्वाभाविक रूप से स्टैक (या रिकर्शन का कॉल स्टैक) का उपयोग करती है; BFS क्यू का उपयोग करती है।

उत्तर

B · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · प्रीऑर्डर और इनऑर्डर

यह उत्तर क्यों है

प्रीऑर्डर रूट देता है, और इनऑर्डर अनुक्रम में उसकी स्थिति बाएँ और दाएँ सबट्री को अलग करती है; किसी नोड का एक चाइल्ड होने पर प्रीऑर्डर और पोस्टऑर्डर अस्पष्ट होते हैं।

उत्तर

C · प्रीऑर्डर और इनऑर्डर
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर GD

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. AC (3)
2. BD (4)
3. BC (5)
4. DE (7)
5. DF (8)
6. GD (9)

कोर संख्या 6

GD

उत्तर

कोर GD

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