डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक ग्रीडी एल्गोरिदम (greedy algorithm):

  1. Aहमेशा इष्टतम समाधान देता है
  2. Bहर संभव समाधान आज़माता है
  3. Cहर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
  4. Dकेवल रिकर्शन का उपयोग करता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

किसी मैक्सिमल मैचिंग के हर किनारे के दोनों सिरे लेने से एक वर्टेक्स कवर मिलता है। यह कवर कितना अच्छा है?

  1. Aहमेशा एक मिनिमम वर्टेक्स कवर
  2. Bमिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना
  3. Cन्यूनतम का अधिकतम log n गुना
  4. Dइष्टतम की तुलना में अज्ञात गुणवत्ता का
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

  1. Aस्टैक
  2. Bक्यू
  3. Cकेवल हैश टेबल
  4. Dहीप
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(log n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
492718188152ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम तेज़ होते हैं और कुछ समस्याओं (जैसे Dijkstra, Huffman कोडिंग) के लिए इष्टतम होते हैं, लेकिन सामान्य रूप से नहीं (जैसे कुछ सिक्का प्रणालियों में coin change)।

उत्तर

C · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · मिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना

यह उत्तर क्यों है

मैचिंग किनारे कोई शीर्ष साझा नहीं करते, इसलिए इष्टतम को प्रति किनारा कम से कम एक शीर्ष चाहिए, जबकि यह विधि दो लेती है: एक 2-सन्निकटन (2-approximation)।

उत्तर

B · मिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

DFS जितना संभव हो उतना गहराई तक जाती है, इसलिए स्वाभाविक रूप से स्टैक (या रिकर्शन का कॉल स्टैक) का उपयोग करती है; BFS क्यू का उपयोग करती है।

उत्तर

A · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

B · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

A, B, C, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: F

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 4, C: 9
2. B (4): C: 6, D: 11, G: 12
3. C (6): E: 7
4. E (7): F: 8, G: 9
5. F (8)
6. G (9)
7. D (11)

चक्र 5

F

उत्तर

F

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