डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

सरल रिकर्सिव फ़िबोनाची (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. Aलघुगणकीय (Logarithmic)
  2. Bरैखिक (Linear)
  3. Cस्थिर (Constant)
  4. Dघातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सा एल्गोरिदम बार-बार ऐसा सबसे सस्ता एज जोड़कर, जो चक्र न बनाए, मिनिमम स्पैनिंग ट्री खोजता है?

  1. ADijkstra का एल्गोरिदम
  2. Bएक नोड से शुरू होने वाला Prim का एल्गोरिदम
  3. CFloyd–Warshall
  4. DKruskal का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ के एडजेसेंसी मैट्रिक्स के बारे में क्या सत्य है?

  1. Aइसके मुख्य विकर्ण में हमेशा 1 होते हैं
  2. Bयह हमेशा ऊपरी त्रिकोणीय होता है
  3. Cहर पंक्ति में ठीक एक 1 होता है
  4. Dयह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सर्कुलर बफ़र में front == rear का अर्थ ख़ाली या भरा दोनों हो सकता है। इन्हें अलग पहचानने का एक सामान्य तरीका क्या है?

  1. Aएक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
  2. Bबफ़र का आकार दो की घात रखें
  3. Cfront और rear को एक ही वेरिएबल में संग्रहीत करें
  4. Dजब भी front, rear के बराबर हो बफ़र साफ़ कर दें, ताकि स्थिति ख़ाली रहे
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 9 शीर्ष और 9 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 9|E| = 9
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
348212141416ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से G तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(G) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: G
d(G) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · घातांकी (Exponential)

यह उत्तर क्यों है

कॉल ट्री लगभग φⁿ (करीब 1.618ⁿ) की तरह बढ़ता है। मेमोइज़ेशन इसे O(n) तक घटा देता है।

उत्तर

D · घातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · Kruskal का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Kruskal एज को वेट के अनुसार सॉर्ट करता है और उन्हें जोड़ता है यदि वे अलग-अलग घटकों को जोड़ते हैं; Prim एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ही ट्री बढ़ाता है।

उत्तर

D · Kruskal का एल्गोरिदम
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है

यह उत्तर क्यों है

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ में किनारा {u, v} का अर्थ है कि M[u][v] और M[v][u] दोनों सेट हैं, इसलिए मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के बराबर है।

उत्तर

D · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें

यह उत्तर क्यों है

गिनती के साथ ख़ाली का अर्थ count = 0 और भरा का अर्थ count = capacity है; एक ख़ाली स्लॉट के साथ भरा (rear + 1) mod n == front के रूप में परिभाषित होता है।

उत्तर

A · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

9 − 1 = 8

हटाई जाने वाली कोरें

k = 9 − 8 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(G) = 17

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 3
B (3): C: 7, G: 17
C (7): E: 15
E (15): D: 17
D (17): F: 29
G (17)
F (29)

सबसे छोटा पथ

A → B → G
d(G) = 17

उत्तर

d(G) = 17

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