डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(n) का हल क्या है?

AO(n log n)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n)

2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

करात्सुबा गुणन T(n) = 3T(n/2) + O(n) को संतुष्ट करता है। इसका हल क्या है?

AΘ(n log n)
BΘ(n^{log₂ 3}), लगभग n^1.585
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.डेटा संरचनाएँमध्यम

पोस्टफ़िक्स एक्सप्रेशन 3 4 + 2 * का मान क्या है?

4.डेटा संरचनाएँकठिन

हैश टेबल के सही काम करने के लिए हैश और समानता (equality) को कौन-सा नियम मानना चाहिए?

Aअलग कुंजियों के हैश मान अलग होने चाहिए
Bहैश मान अभाज्य संख्याएँ होने चाहिए
Cसमान हैश मानों का अर्थ है समान कुंजियाँ
Dसमान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 8

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 2 की कितनी वॉक F से D तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2

N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n log n)

यह उत्तर क्यों है

मास्टर प्रमेय (master theorem) से (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n)।

उत्तर

A · O(n log n)

2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Θ(n^{log₂ 3}), लगभग n^1.585

यह उत्तर क्यों है

चूँकि log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, मास्टर प्रमेय से पत्तियाँ (leaves) प्रभावी होती हैं, जो O(n²) पारंपरिक विधि से बेहतर है।

उत्तर

B · Θ(n^{log₂ 3}), लगभग n^1.585

3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · 14

यह उत्तर क्यों है

3 और 4 push करें, + से 7 मिलता है; 2 push करें, * से 7 × 2 = 14 मिलता है।

उत्तर

D · 14

4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

यह उत्तर क्यों है

यदि दो समान कुंजियों के हैश अलग हों, तो वे अलग बकेटों में संग्रहीत होंगी और खोज विफल होगी; असमान कुंजियाँ फिर भी एक हैश साझा कर सकती हैं।

उत्तर

D · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

C, E → 2

यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 0 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 0 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)_FD = 0·0 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1

उत्तर

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms