डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

  1. Aऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
  2. Bसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
  3. Cयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत
  4. Dपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

मास्टर प्रमेय का उपयोग करके T(n) = 8T(n/2) + O(n²) का हल क्या है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
  2. Bतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  3. Cलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
  4. Dलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री के नियम n कुंजियों वाले ट्री की ऊँचाई के बारे में क्या गारंटी देते हैं?

  1. Aऊँचाई अधिकतम log2 n + 1 है
  2. Bऊँचाई अधिकतम n / 2 है
  3. Cऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
  4. Dऊँचाई ठीक log2 n है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
4121424516514149ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत

यह उत्तर क्यों है

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण दुर्लभ महँगे ऑपरेशनों की लागत को कई सस्ते ऑपरेशनों पर फैलाता है, जिससे किसी भी अनुक्रम के लिए गारंटीशुदा औसत मिलता है।

उत्तर

A · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(n³)

यह उत्तर क्यों है

log₂ 8 = 3, और n² की वृद्धि n³ से धीमी है, इसलिए पत्तियाँ हावी होती हैं: Θ(n³)।

उत्तर

C · Θ(n³)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है

यह उत्तर क्यों है

हर पथ में समान संख्या में काले नोड होते हैं और लाल नोड आसन्न नहीं हो सकते, इसलिए सबसे लंबा पथ सबसे छोटे का अधिकतम दोगुना है, जिससे ऊँचाई O(log n) होती है।

उत्तर

C · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

A, B, C, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: F

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 4, C: 12
2. B (4): D: 6, G: 9
3. D (6): E: 11, F: 7
4. F (7)
5. G (9)
6. E (11)
7. C (12)

चक्र 4

F

उत्तर

F

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