डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

प्रिम का एल्गोरिदम मिनिमम स्पैनिंग ट्री कैसे बनाता है?

  1. Aयह सबसे महँगा किनारा तब तक हटाता है जब तक कोई चक्र न बचे
  2. Bयह सभी किनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करता है और हर किनारे को तब तक जोड़ता है जब तक वह फ़ॉरेस्ट में चक्र (cycle) न बनाए
  3. Cयह ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च चलाकर BFS ट्री रखता है
  4. Dयह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या का वर्गीकरण कैसे होता है?

  1. Aयह P में है क्योंकि डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम हर शहर को एक बार देखकर इसे हल करता है
  2. Bयह अनिर्णेय है
  3. Cनिर्णय रूप P में है पर ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-complete है
  4. Dनिर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री का in-order ट्रैवर्सल कुंजियों को किस क्रम में देखता है?

  1. Aस्तर क्रम (level order) में
  2. Bहमेशा अवरोही क्रम में
  3. Cआरोही क्रमबद्ध क्रम में
  4. Dइंसर्शन के क्रम में
4.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रमबद्ध लिंक्ड लिस्ट की तुलना में स्किप लिस्ट का मुख्य लाभ क्या है?

  1. Aआगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
  2. Bयह कोई अतिरिक्त मेमोरी नहीं लेती
  3. Cयह कुंजियों को बिना क्रम के संग्रहीत करती है
  4. Dगारंटीकृत O(1) खोज, क्योंकि हर नोड बाकी हर नोड का पॉइंटर रखता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1791531686201144ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 11
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · यह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है

यह उत्तर क्यों है

क्रॉसिंग किनारों की प्रायोरिटी क्यू के साथ प्रिम का एल्गोरिदम बाइनरी हीप से O(E log V) में चलता है।

उत्तर

D · यह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · निर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard

यह उत्तर क्यों है

"क्या अधिकतम k लंबाई का कोई टूर है?" NP-complete है; सबसे छोटा टूर खोजना NP-hard है, क्योंकि यह कम से कम उतना ही कठिन है।

उत्तर

D · निर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · आरोही क्रमबद्ध क्रम में

यह उत्तर क्यों है

पहले बाएँ सबट्री, फिर नोड, फिर दाएँ सबट्री पर जाने से BST की कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में मिलती हैं।

उत्तर

C · आरोही क्रमबद्ध क्रम में
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक स्तर खोज को कई नोड्स छोड़ने देते हैं, जिससे खोज, इंसर्ट और डिलीट अपेक्षित O(log n) होते हैं।

उत्तर

A · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

B, D → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 41

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

GB (1): लें
BD (3): लें
GD (4): छोड़ें, चक्र बनता है
DF (6): लें
DE (8): लें
AC (9): लें
GC (14): लें

कुल भार

W = 1 + 3 + 6 + 8 + 9 + 14 = 41

उत्तर

W = 41

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