डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1, 3 और 4 के सिक्कों और 6 की राशि के साथ, ग्रीडी "पहले सबसे बड़ा सिक्का" विधि इष्टतम की तुलना में कितने सिक्के उपयोग करती है?

  1. Aग्रीडी 4 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
  2. Bग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
  3. Cग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
  4. Dग्रीडी 2 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास P की कौन-सी परिभाषा सही है?

  1. Aनिर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं
  2. Bसमस्याएँ जिनके समाधान जाँचे तो जा सकते हैं पर बहुपदी समय में कभी खोजे नहीं जा सकते
  3. Cसमस्याएँ जिन्हें हर कंप्यूटर पर घातांकी समय चाहिए
  4. Dसमस्याएँ जो समानांतर रूप से हल हो सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K6 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K6
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
714799278ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी 4 + 1 + 1 = 3 सिक्के लेती है, पर 3 + 3 में केवल 2 लगते हैं, इसलिए इस सिक्का प्रणाली के लिए ग्रीडी इष्टतम नहीं है; डायनेमिक प्रोग्रामिंग है।

उत्तर

B · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · निर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

P में वे निर्णय समस्याएँ हैं जिनका नियतात्मक बहुपदी-समय एल्गोरिदम है, जैसे यह जाँचना कि कोई ग्राफ़ जुड़ा हुआ है या नहीं।

उत्तर

A · निर्णय समस्याएँ जो एक नियतात्मक (deterministic) एल्गोरिदम द्वारा बहुपदी समय में हल हो सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(1)

यह उत्तर क्यों है

पंक्ति u, स्तंभ v की मैट्रिक्स प्रविष्टि तुरंत बताती है कि किनारा मौजूद है या नहीं; एडजेसेंसी लिस्ट में u के पड़ोसियों को स्कैन करना पड़ सकता है।

उत्तर

A · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

D · O(n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 60

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

उत्तर

H = 60
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 7, C: 14
2. B (7): D: 16, E: 15
3. C (14)
4. E (15): F: 22
5. D (16): F: 18
6. F (18)

चक्र 4

E

उत्तर

E

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